数学七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试练习题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明同步训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是(       )

A．70° B．80° C．100° D．110°

2、如图，∠1＝35°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一条直线上，则∠2的度数为    （    ）

A．125° B．115° C．105° D．95°

3、如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．150°

4、下列说法：

①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③同位角相等；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，

其中正确的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5、下列命题是假命题的有（    ）

①在同一个平面内，不相交的两条直线必平行；

②内错角相等；

③相等的角是对顶角；

④两条平行线被第三条直线所截，所得同位角相等．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

6、如图，下列给定的条件中，不能判定的是（　　）

A． B． C． D．

7、下列说法中正确的是（    ）

A．一个锐角的补角比这个角的余角大90° B．－a表示的数一定是负数

C．射线AB和射线BA是同一条射线 D．如果︱x︱＝5，那么x一定是5

8、若∠α＝55°，则∠α的余角是（　　）

A．35° B．45° C．135° D．145°

9、如图，不能推出a∥b的条件是（　　）

A．∠4＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠1＝∠3 D．∠2+∠3＝180°

10、如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（　　）

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，直线mn．若，，则的大小为_____度．

2、已知一个角等于70°38′，则这个角的余角等于______．

3、已知与互为补角，且，则______．

4、如图，过直线AB上一点O作射线OC、OD ，并且OD是∠ AOC的平分线，∠BOC=29°18′，  则∠BOD的度数为___________．

5、如图，直线AB和直线CD相交于点O，且∠AOC＝2∠BOC，则∠AOD的度数为____________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、直线，直线分别交、于点、，平分．

（1） 如图1，若平分，则与的位置关系是      ．

（2） 如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由．

（3） 如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由．

2、问题情境：如图1，，，，求的度数．

小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______．

问题迁移：如图3，，点在射线上运动，，．

（1）当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．

（2）如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系．

3、如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角，邻补角及对顶角．

4、已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行？并写出推理的根据．

（1）如果∠2＝∠3，那么____________．(____________，____________)

（2）如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)

（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________)

（4）如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)

5、一个角的余角的3倍比这个角的补角大18°，求这个角的度数．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、B

【分析】

先证明DEBC，根据平行线的性质求解．

【详解】

解：因为∠B＝∠ADE＝70°

所以DEBC，

所以∠DEC+∠C＝180°，所以∠C＝80°.

故选：B．

【点睛】

此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．

2、A

【分析】

利用互余角的概念与邻补角的概念解答即可．

【详解】

解：∵∠1＝35°，∠AOC＝90°，

∴∠BOC＝∠AOC−∠1＝55°．

∵点B，O，D在同一条直线上，

∴∠2＝180°−∠BOC＝125°．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了角的和差运算，互余角的关系以及邻补角的关系．准确使用邻补角的关系是解题的关键．

3、C

【分析】

先由AB∥CD，得到∠1=∠CEF，根据∠2+∠CEF=180°，得到∠2+∠1＝180°，再由∠2＝2∠1，则3∠1=180°，由此求解即可．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠1=∠CEF，

又∵∠2+∠CEF=180°，

∴∠2+∠1＝180°，

∵∠2＝2∠1，

∴3∠1=180°，

∴∠1=60°，

∴∠2＝120°，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，领补角互补，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

4、B

【分析】

根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断②，根据举反例可判断③，根据平行线的基本事实可判断④．

【详解】

解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确；

②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确；

③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确；

其中正确的有④一共1个．

故选择B．

【点睛】

本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．

5、C

【分析】

根据平面内两条直线的位置关系：平行，相交，可判断①，根据两直线平行，内错角相等可判断②，根据对顶角的定义：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线可判断③，由两直线平行，同位角相等可判断④，从而可得答案.

【详解】

解：在同一个平面内，不相交的两条直线必平行；原命题是真命题，故①不符合题意；

两直线平行，内错角相等；原命题是假命题；故②符合题意；

相等的角不一定是对顶角；原命题是假命题；故③符合题意；

两条平行线被第三条直线所截，所得同位角相等；原命题是真命题，故④不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是真假命题的判断，同时考查平面内两条直线的位置关系，平行线的性质，对顶角的定义，掌握“判断真假命题的方法”是解本题的关键.

6、A

【分析】

根据平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行，进行逐一判断即可．

【详解】

解：A选项：当∠1=∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故符合题意；

B选项：当∠A=∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故不符合题意；

C选项：当∠1=∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故不符合题意；

D选项：当∠2+∠A=180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．

7、A

【分析】

根据补角和余角的概念即可判断A选项；根据负数的概念即可判断B选项；根据射线的概念即可判断C选项；根据绝对值的意义即可判断D选项．

【详解】

解：A、设锐角的度数为x ，

∴这个锐角的补角为，这个锐角的余角为，

∴．

故选项正确，符合题意；

B、当时，，

∴－a表示的数不一定是负数，

故选项错误，不符合题意；

C、射线AB是以A为端点，沿AB方向延长的的射线，射线BA是以B为端点，沿BA方向延长的的射线，

∴射线AB和射线BA不是同一条射线，

故选项错误，不符合题意；

D、如果︱x︱＝5，，

∴x不一定是5，

故选项错误，不符合题意，

故选：A．

【点睛】

此题考查了补角和余角的概念，负数的概念，射线的概念，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握以上概念和性质．

8、A

【分析】

根据余角的定义即可得．

【详解】

由余角定义得∠α的余角为90°减去55°即可．

解：由余角定义得∠α的余角等于90°﹣55°＝35°．

故选：A．

【点睛】

本题考查了余角的定义，熟记定义是解题关键．

9、B

【分析】

根据平行线的判定方法，逐项判断即可．

【详解】

解：、和是一对内错角，当时，可判断，故不符合题意；

、和是邻补角，当时，不能判定，故符合题意；

、和是一对同位角，当时，可判断，故不合题意；

、和是一对同旁内角，当时，可判断，故不合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的判定．解题的关键是：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

10、D

【分析】

由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．

【详解】

解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，

∴∠BAC=45°

∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，

∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，

∴∠1=75°，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

二、填空题

1、70

【分析】

如图（见解析），过点作，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．

【详解】

解：如图，过点作，

，

，

，

，

，

故答案为：70．

【点睛】

本题考查了平行线的性质与推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

2、19°22′

【分析】

根据余角的定义解决此题．

【详解】

解：∵90°-70°38'=19°22′．

∴根据余角的定义，这个角的余角等于19°22′．

故答案为：19°22′．

【点睛】

本题主要考查了余角的定义，熟练掌握余角的定义是解决本题的关键．

3、

【分析】

根据题意可得，即可求解．

【详解】

解：∵与互为补角，

∴ ，

∵，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了补角的定义，熟练掌握互补的两角的和为 是解题的关键．

4、

【分析】

先求出的度数，再根据角平分线的运算可得的度数，然后根据角的和差即可得．

【详解】

解：，

，

是的平分线，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了邻补角、与角平分线有关的计算，熟记角的运算法则是解题关键．

5、

【分析】

根据，可得，再根据对顶角相等即可求出的度数．

【详解】

解：∵，

∴

∴

∵

∴

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了邻补角、对顶角的相关知识，熟练运用邻补角、对顶角的相关知识是解答此题的关键．

三、解答题

1、（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据两直线平行，同位角相等可得，根据角平分线的意义可得，进而可得，即可判断；

（2）根据两直线平行，内错角相等，角平分线的意义可得，即可判断；

（3）设交于点，过点作根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线的意义，可得，进而可得，进而判断．

【详解】

（1）如题图1，

平分，平分．

；

（2）如题图2，

平分，平分．

；

（3）如图，设交于点，过点作

，

平分，平分．

；

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．

2、问题情境：；问题迁移：（1）；理由见解析；（2）当点在、两点之间时，；当点在射线上时，.

【解析】

【分析】

问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE∥AB∥CD，通过平行线性质来求∠APC；

（1）过点P作，得到理由平行线的性质得到，，即可得到；

（2）分情况讨论当点P在B、O两点之间，以及点P在射线AM上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．

【详解】

解：问题情境：

∵AB∥CD，PE∥AB，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；

（1）；

过点P作，

又因为，所以，

则，，

所以；

（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，

过P作PE∥AD，交ON于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥BC∥PE，

∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，

∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β，

情况2：如图所示，点P在射线AM上时，

过P作PE∥AD，交ON于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥BC∥PE，

∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，

∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α

【点睛】

本题主要考查了借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理，准确分析证明是解题的关键．

3、∠BOC的补角有两个∠BOD和∠AOC；∠BOC的邻补角为∠AOC；∠BOC没有对顶角.

【解析】

【分析】

由题意直接根据补角，邻补角及对顶角的定义进行分析即可找出.

【详解】

解：因为∠BOC＋∠AOC=180º(平角定义），

所以∠AOC是∠BOC的补角,

∠AOD=∠BOC（已知），

所以∠BOC＋∠BOD=180º.

所以∠BOD是∠BOC的补角．

所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC.

因为∠AOC和∠BOC相邻，

所以∠BOC的邻补角为：∠AOC.

∠BOC没有对顶角.

【点睛】

本题考查补角，邻补角及对顶角的定义，熟练掌握补角，邻补角及对顶角的定义是解题的关键.

4、（1）EFDG，内错角相等，两直线平行；（2）ABEF，同位角相等，两直线平行；（3）ADBC，同旁内角互补，两直线平行；（4）ABDG，内错角相等，两直线平行；

【解析】

【分析】

（1）根据两直线被第3条直线所截，确定∠2，∠3的位置为内错角，然后再判断直线平行即可；

（2）根据两直线被第3条直线所截，确定∠2，∠5的位置为同位角，然后再判断直线平行即可；

（3）根据两直线被第3条直线所截，确定∠2，∠1的位置为同旁内角，然后再判断直线平行即可；

（4）根据两直线被第3条直线所截，确定∠5，∠3的位置为内错角，然后再判断直线平行即可．

【详解】

（1）如果∠2＝∠3，那么EF∥DC．(内错角相等，两直线平行)；

（2）如果∠2＝∠5，那么EF∥AB．(同位角相等，两直线平行)；

（3）如果∠2＋∠1＝180°，那么AD∥BC．(同旁内角互补，两直线平行)；

（4）如果∠5＝∠3，那么AB∥CD．(内错角相等，两直线平行．

故答案为：（1）EFDG，内错角相等，两直线平行；（2）ABEF，同位角相等，两直线平行；（3）ADBC，同旁内角互补，两直线平行；（4）ABDG，内错角相等，两直线平行．

【点睛】

本题考查平行线的判定，角的位置关系识别，掌握三线八角的两角位置关系，直线平行的判定定理是解题关键．

5、36°

【解析】

【分析】

根据题意，先设这个角的度数为x°，则这个角的余角的度数为90°-x°，这个角的补角的度数为180°-x°，再列方程进行计算．

【详解】

解：设这个角的度数是x°.

由题意，得   .  

解得，

∴这个角的度数为36°．

【点睛】

本题主要考查了一元一次方程的实际应用，与余角补角有关的计算，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．