高中数学北师大版必修46.1余弦函数的图像课前预习ppt课件

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§6 余弦函数的图像与性质
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性，即朔——上弦——望——下弦——朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？
1．余弦函数的图像(1)余弦函数y＝cs x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x_______________单位长度得到．(2)余弦函数y＝cs x(x∈R)的图像叫作___________.图像如下：
(3)用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是_________、_________、__________、___________、___________.
[2kπ－π，2kπ]　
[2kπ，2kπ＋π]　
[解析]　函数y＝1－cs x是偶函数，其图像关于y轴对称．
(2k＋1)π(k∈Z)　
用“五点法”画函数y＝－cs x，x∈[0,2π]的简图．[思路分析]　运用“五点法”作图，正确找出五个点是作图的关键．
命题方向1　⇨用“五点法”作图
『规律总结』　“五点法”画函数图像是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图像可以化归为基本函数来画，也可借助于图像变换的方法，如平移、对称、翻折等，这些将在后文中讲到．
〔跟踪练习1〕用五点法作出函数y＝3＋2cs x在一个周期内的图像．
描点得y＝3＋2cs x在一个周期内的图像(如图所示)：
命题方向2　⇨求余弦函数的定义域
『规律总结』　前面学习的求函数定义域的方法对余弦函数仍然适用．在此特别强调，要充分利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，准确写出解集．
下列函数的最大值及最小值：
命题方向3　⇨求函数的值域(最值)
[思路分析]　对(1)可利用余弦函数本身的范围及一次函数的单调性求解，对(2)可考虑利用二次函数的单调性求解．
[解析]　(1)∵－1≤cs x≤1，又∵一次函数y＝－3m＋1在m∈R上是单调减函数，∴当cs x＝－1时，ymax＝4，当cs x＝1时，ymin＝－2.
『规律总结』　形如y＝acs 2x＋bcs x＋c(a≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题．
　求下列函数的单调区间．(1)y＝3cs x＋1；　(2)y＝cs 2x.[思路分析]　根据y＝cs x的单调区间求．[解析]　(1)画出函数y＝3cs x＋1的简图(略)，可知y＝3cs x＋1的单调区间与y＝cs x的单调区间相同，即单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
『规律总结』　求形如y＝cs (ωx＋φ)(ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答．列不等式的原则是：把“ωx＋φ(ω>0)”看作一个整体，代入y＝cs x的单调区间的范围内，求出x的范围即为对应的单调区间．
　下列说法中错误的是(　　)
正余弦函数性质混淆导致出错　
[错解]　A或C或D[辨析]　正弦函数与余弦函数都是周期函数，最小正周期都是2π，因而左、右平移2π个单位长度图像都不变的也可能是余弦函数，因而B是错误的．[正解]　B
2．不等式cs x>0，x∈[0,2π]的解集是________________________.
5．函数y＝cs 2x－6cs x＋10的值域为_______________.[解析]　令t＝cs x，由于x∈R，故－1≤t≤1.y＝t2－6t＋10＝(t－3)2＋1，当t＝－1时，即cs x＝－1时函数有最大值17；当t＝1，即cs x＝1时函数有最小值5.所以该函数的值域是[5,17]．