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§3 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、【课程的主要内容】

3.1 空间图形基本位置关系的认识3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1,2,3)
推论1：一条直线和该直线外______确定一个平面；推论2：两条______直线确定一个平面；推论3：两条______直线确定一个平面．基本事实1及以上推论给出了确定平面的依据．
基本事实1与2的三个推论
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)三角形一定是平面图形．( )(2)直线l与平面α有且只有两个公共点．( )(3)若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合．( )(4)四条边都相等的四边形是平面图形．( )
[解析] (2)一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个，1个或无数个，不可能只有2个公共点．(3)当A，B，C，D共线时，这四个点都在这两个平面的交线上，两平面不重合．(4)也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形．
2．若一直线a在平面α内，则正确的图形是( )
[解析] 画直线在平面内时，所画直线不能超出表示平面的平行四边形．

二、【难点攻克】

3．下列说法正确的是( )A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面[解析] A错误，不共线的三点可以确定一个平面；B错误，一条直线和这条直线外一点可确定一个平面；C错误，四边形不一定是平面图形；D正确，两条相交直线可以确定一个平面．
4．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合[解析] ∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由基本事实3知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A写法错误．
5．空间三条直线互相平行，由每两条平行直线确定一个平面，则可以确定平面的个数为_______.[解析] 三条直线在同一平面内时确定一个平面，三条直线不在同一个平面内时确定三个平面．
根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC．

二、【拓展探究】

【对点练习】❶ (1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为__________________；
M∈a，a⊂α，M∈α
(2)根据右图，填入相应的符号：A_____平面ABC，A_______平面BCD，BD_______平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝______；(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC．
[解析] (3)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC．图形表示：如图所示．
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
[分析] (1)P，Q，R三点分别在哪几个平面上？(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？
[解析] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．证法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．[归纳提升] 点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
【对点练习】❷ 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．
[解析] 由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C．∵A1C⊂平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C．又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D．∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上．又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C．又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．
[证明] 如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．
[归纳提升] 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．
【对点练习】❸ 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DFFC＝DGGA＝12.
求证：直线EF、BD、HG交于一点．[分析] 先证EF、HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上．
[归纳提升] 三线共点的证明方法：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
【对点练习】❹ 三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．
[解析] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，设a∩b＝P，∵P∈a，a⊂β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点．
对于条件所给的点的位置关系考虑不全面
已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解] 因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面．[错因分析] 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B，C，D三点还可能共线．
[正解] (1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内，因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面．(2)如果B，C，D三点共线于l，若A，E都在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面.

四、【课堂练习】

1．在下列各种面中不能被认为是平面的一部分的是( )A．黑板面B．乒乓球桌面C．篮球的表面D．平静的水面[解析] 篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分．
2．如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
[解析] 对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实虚线也没有按照规则去画，同样的道理，也可知B、C图形的画法不正确．
3．平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面．[解析] 当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有_____条．
[解析] 由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．
5．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一条直线．
[解析] 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC．因为AD∩α＝H，所以H∈平面AC，H∈α，由基本事实3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一条直线上．