24.高中数学（人教B版）直线与平面垂直的判定与性质-1教案

教学基本信息

课题

11.4.1直线与平面垂直的判定与性质

学科

数学

学段：高一下

年级

高一

教材

书名： 《数学必修第四册》B版                    出版社：人教社            出版日期：2019    年8  月

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

1.理解线面垂直的性质定理，会用线面垂直的判定定理、性质定理解决问题.

2.体会线线垂直和线面垂直的转化思想.

教学重点、难点：

教学重点是线面垂直的判定定理和性质定理的理解，教学难点是运用线面垂直的判定定理，性质定理解决相关问题．

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

（一）知识回顾

1、直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足.由定义可知： ．

2、直线和平面垂直的判定定理：

如果一条直线垂直于平面内两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面。图形语言可以如图所示，符号语言为这样我们就发现了线面的垂直可以推出线线的垂直．

（二）思考与探究

3思考探究下列问题：

问题1：在平面内，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则另一条是否也垂直于这条直线？

问题2：在空间中，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条是否也垂直于这条直线？

问题3在空间中，如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条是否也垂直于这个平面？

问题1由平面几何的知识知道另一条也垂直于这条直线，问题2由直线成角的知识知也是垂直的，问题3从直观观察看也是成立的，下面我们来严格表述和证明这一结论.

复习线面垂直的定义，线面垂直的判定定理，引入新知.

类比平面几何的性质，猜想空间中成立的结论，并加以论证.

新课

（三）线面垂直的性质定理

1、结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

这个结论给出了证明线面垂直的一种方法：找一条辅助直线与已知直线平行，且容易证明该辅助直线与平面垂直．

2、思考探究下列问题：

问题1：在平面内，垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

问题2：在空间中，垂直于同一个平面的两条直线是否平行？

问题1可知两条直线平行，问题2直观观察可知也是平行的．这就是我们要学习的线面垂直的性质定理.

线面垂直的性质定理：

如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

我们写出已知和求证即为：

已知：如图，.

求证：

证明：假设不平行于，设，

过作，因为，所以，，与能确定一个平面，记为，设，由，可知，所以在平面内，过点有两条不同的直线都与直线垂直，得出矛盾.因此假设不成立，所以.

3、前面已经研究了直线和平面垂直，如果直线和平面不垂直，如何刻画其相对倾斜程度？直线和平面所成角应该如何定义？我们来认识几个相关概念如图所示，一条直线PA和平面相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，线段PA称为平面线段.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO ，线段PO称为平面的垂线段.过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角．

如图所示，从点P向平面引两条斜线段PA、PB

可知

类比猜想，引入线面垂直的性质定理，并引导学生完成证明.

例题

例1如图在三棱锥中，，且，,求三棱锥的体积.

解：设在底面的射影为则由，有，即为的外心，又因为是直角三角形，所以是线段的中点.

因为．

所以．

又因为是直角三角形，从而．

因此所求体积为．

变式1：在例1的条件下，求证：

证明：由例1知：，所以，

又因为，，所以，所以，，故.

变式2：在例1中在底面的射影为，若分别是的中点，试判断与的位置关系；

判断: .因为分别是的中点，所以.，所以.

变式3：在变式2的条件下，有人说“,,所以,”，对吗？

不对，因为，不是中的两条相交直线，所以不满足线面垂直判定定理的条件，所以不正确.

例2已知如图，是平面的斜线，为斜足，，为垂足，，且．

求证：．

证明：因为，，所以，

又因为．且，所以，而且，所以.

练习1：如图，在四棱锥中，，四边形是菱形．

（1）证明：；

（2）证明：．

（1）证明： 因为四边形是菱形，

所以．又因为，，所以．

,所以．

（2）证明： 由（1）知，

因为，所以．

练习2如图，，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动．

（1）求三棱锥的体积；

（2）证明：无论点在边的何处，都有．

（1）解：．

  （2）因为，故，又，故，所以；中，，点是的中点，故，所以，故无论点在边的何处，都有．

例3：如图，在正四棱柱中，是的中点．

（1）求证：；

（2）若，求的值．

（1）证明： 连接．

因为是正四棱柱，所以，且，所以，所以，所以．

（2）解： 连接．因为，所以．因为，所以．因而.

所以．因为，所以，即．所以．

例4将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，．现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好落在上，如图乙．

  （1）求证：；

（2）求证：为线段的中点．

（1）证明：在平面上的射影恰好落在 上，所以，所以．

又，，

所以，所以．

（2）证明：在中，，得．，在中，，得， 由（1）得，所以，在中，，

又，所以为线段的中点．

例1是线面垂直的简单应用，引导学生运用新知解决问题.

变式练习，通过题目条件的变化，引导学生分析运用线面垂直相关定理解决问题，特别是关注定理成立的条件.

通过例题2让学生体会到线线垂直和线面垂直的转化思想.

设置课堂练习1，让学生通过练习逐步掌握本节课所学知识.

设置练习2，让学生体会变化过程中两条直线垂直关系始终不变，应用了线面垂直的判定和概念.

例题3让学生运用本节所学知识，转化成平面几何中的相关问题，培养学生前后一致的系统知识.

例题4关注折叠问题中变化与不变的量，利用课堂所学，解决问题.

总结

今天和同学一起回顾了线面垂直的判定定理，学习了线面垂直的性质定理，并运用转化思想解决了垂直关系中的综合问题．

总结梳理课堂所学，引导学生做好总结

作业

作业1：如图，在底面是直角梯形的四棱锥

中， ，，，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求证：；

作业2：如图，在四棱柱中，，，，．

（1）求证：；

（2）若，判断直线与平面是否垂直?并说明理由．

通过设置作业，让学生运用新知识解决问题，加强对知识的理解掌握.