三角函数模型的简单应用_知识讲解_提高练习题

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三角函数模型的简单应用 【学习目标】 1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题； 2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【要点梳理】 要点一：三角函数模型的建立程序 收集数据 画散点图 选择函数模型 检验 求函数模型 用函数模型解决实际问题 要点二：解答三角函数应用题的一般步骤 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论． （1）审题 三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题． （2）建模 根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式． （3）解模 利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果． （4）结论 将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判． 要点诠释： 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题． 【典型例题】 类型一：三角函数周期性的应用 例1．（2015春 福建安溪县期末）某港口的水深y（米）时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表： 经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinω+b （1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式； （2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以完全的进出该港？ 【思路点拨】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出b和A；再借助于相隔9小时达到一次最大值说明周期为12求出ω即可求出y=f（t）的解析式； （2）把船舶安全转化为深度f（t）≥11.5，即；再解关于t的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港． 【答案】（1）（0≤t≤24）；（2）（1∶00～5∶00），（13∶00～17∶00） 【解析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7， ∴， 且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12， 因此，， 故（0≤t≤24） （2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即 ∴， 解得：12k+1≤t≤5+12k，k∈Z 又0≤t≤24 当k=0时，1≤t≤5； 当k=1时，13≤t≤17； 故船舶安全进港的时间段为（1∶00～5∶00），（13∶00～17∶00）． 【总结升华】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等． 举一反三： 【变式1】如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保护参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．求A，ω的值和M，P两点间的距离． 【答案】 5 【解析】依题意，有，， 又，∴．∴，x∈[0，4]． ∴当x=4时，．∴M（4，3）．又P（8，0）， ∴（km）． 类型二：三角函数模型在天气中的应用 例2. 下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表：（时间近似到0.1小时） （1）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标（如下图）中画出这些数据的散点图； （2）试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算） （3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？ 【思路点拨】先作散点图，结合图象求出中的，最后利用函数模型，解不等式可得． 【答案】（1）略（2）（1≤x≤365，x∈N*）（3）121天 【解析】（1）如图所示． （2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为， 由题中图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4， 即ymax=19.4，ymin=5.4， 由19.4－5.4=14，得A=7； 由19.4+5.4=24.8，得t=12.4． 又T=365，∴． ∴（等于，，，均可）． ∴（1≤x≤365，x∈N*）． （3）由y＞15.9，得， ∴， ，∴112≤x≤232． ∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时． 【总结升华】现实生产、生活中，周期现象广泛存在，三角函数还是刻画周期现象的重要数学模型，在解决实际问题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合，而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题． 举一反三: 【变式1】（2015秋 湖北荆门期末）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象．2015年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃． （1）请推理荆门地区该时段的温度函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，t∈[0，24））的表达式； （2）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该送电吗？ 【答案】（1）；（2）应该开空调 【解析】（1）∵最高温度为14℃，最低温度为零下2℃． ∴，， ∵函数的周期T=24，∴ 由，，可得 ∴函数表达式为； （2）当x=9时， ∵，∴， 温度低于10℃，满足开空调的条件，所以应该开空调． 类型三：三角函数模型在物理学中的应用 例3．已知弹簧上挂着小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化规律为： ，t∈[0，+∞）． 用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题： （1）小球在开始运动（t=0）时，离开平衡位置的位移是多少？ （2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？ （3）经过多少秒，小球往复运动一次？ 【答案】（1） （2）（3）3.14 【解析】列表如下： 作图（如图）． （1）将t=0代入， 得． 以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是cm，方向为正向． （2）由题图可知，小球上升到最高点离开平衡位置的位移是－4 cm，负号表示方向竖直向下． （3）由于这个函数的周期，所以小球往复运动一次所需的时间为π≈3.14 s．反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次． 【总结升华】（1）注意简谐运动中自变量的范围为[0，+∞）． （2）正确理解并识记简谐运动周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解决本题的关键． 举一反三： 【变式1】一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为rad，与时间t满足关系式． （1）当时，的值是多少？并指出小球的具体位置； （2）单摆摆动的频率是多少？ （3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？ 【答案】（1）0（2）（3） 【解析】 （1）当时，，这时小球恰好在平衡位置； （2）因为单摆摆动的周期，所以频率； （3）令t=0，得的最大值为1．故有最大值rad，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是rad． 例4.如图所示，表示电流I与时间t的关系式（A＞0，）在一个周期内的图象． （1）试根据图象写出的解析式； （2）为了使中t在任意一段s时间内I能同时取得最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数的最小值为多少？ 【思路点拨】由图象，可求出 ，因此可写出解析式．（2）要满足题意，则必须，解之可得． 【答案】（1）（2）629 【解析】（1）由图可知，A=300，周期， ∴． 当时，，即． 故图象的解析式为． （2）要使t在任意一段s的时间内能同时取得最大值和最小值，必须使得周期． 即． 由于为正整数，故的最小值为629． 【总结升华】由三角函数的图象求解析式的方法是：根据函数图象性质，结合“五点法”作图时的对应关系，分别确定A，，．日期1月 1日2月 28日3月 21日4月 27日5月 6日6月 21日8月 13日9月 20日10月 25日12月 21日日期位置 序号x15980117126172225263298355白昼时间 y（小时）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4t0π2πs40－40