知识讲解_《平面向量》全章复习与巩固_提高

《平面向量》全章复习与巩固

【学习目标】

1.平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

2.向量的线性运算

（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义.

3.平面向量的基本定理及坐标表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意义；

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

4.平面向量的数量积

（1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：向量的有关概念

1.向量：

既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).

2.向量的表示方法：

(1)字母表示法：如等.

(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等.

(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=.

3.相等向量：

长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量与相等，记为.

4.零向量：

长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.

5.单位向量：

长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.

6.共线向量：

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：与任一向量共线.

注：共线向量又称为平行向量.

7.相反向量：

长度相等且方向相反的向量.

要点二、向量的运算

1.运算定义

2.运算律

加法：

①(交换律)；        ②(结合律)

实数与向量的乘积：

①； ②；③

两个向量的数量积：

①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·

3.运算性质及重要结论

(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.

①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.

③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言：

坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0.

(3)两个向量垂直的充要条件

符号语言：

坐标语言：设非零向量，则

(4)两个向量数量积的重要性质：

① 即 (求线段的长度)；

②(垂直的判断)；

③ (求角度).

要点诠释：

1. 向量的线性运算

(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；

(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.

2. 共线向量与三点共线问题

向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.

(1)用向量证明几何问题的一般思路：

先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向

量的运算来证明.

(2)向量在几何中的应用：

①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件

(x1，y1)=(x2，y2)

②证明垂直问题，常用垂直的充要条件

③求夹角问题，利用

④求线段的长度，可以利用或

【典型例题】

类型一：平面向量的概念

例1.给出下列命题：

①若||=||，则=；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若=，=，则=；

④=的充要条件是||=||且//；

⑤ 若//，//，则//；

其中正确的序号是           .

(2)设为单位向量，(1)若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；(3)若与平行且，则.上述命题中，假命题个数是(    )

A.0    B.1    C.2    D.3

【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。

【解析】(1)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；

②正确；∵ ，∴ 且，又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且，因此，.

③正确；∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；又=，∴ ，的长度相等且方向相同，∴ ，的长度相等且方向相同，故=.

④不正确；当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件；

⑤不正确；考虑=这种特殊情况；

综上所述，正确命题的序号是②③.

(2)向量是既有大小又有方向的量，与模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时，故(2)、(3)也是假命题.综上所述，答案选D.

【总结升华】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念.

举一反三：

【变式】判断下列各命题正确与否：

(1)；

(2)；

(3)若，则；

(4)若，则当且仅当时成立；

(5)对任意向量都成立；

(6)对任意向量，有.

【解析】(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对.

【总结升华】通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系，重点清楚为零向量，而为零.

类型二：平面向量的运算法则

例2.如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，表示出来.

【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可.

【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

所以，=＋，= =+，

由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=＋=+=++=2+，

同样在平行四边形BCDO中，===＋(＋)=＋2，==-.

【总结升华】其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示.

举一反三：

【变式1】设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

①，②，③.

【解析】①原式= ；

②原式= ；

③原式= .

【变式2】设为未知向量，、为已知向量，解方程2(5+34)+3=0

【解析】原方程可化为：(23)+(5+)+(43)=0，

∴=+.

【总结升华】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质.

类型三：平面向量的坐标及运算

例3.已知点，试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标.

【解析】设，则

因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上.

即得，由点得，.

得方程组，解之得.

故直线与的交点的坐标为.

例4.（2016 河北邯郸期末）已知平面内三个向量：

（1）若，求实数k的值；

（2）设，且满足，求．

【思路点拨】首先将它们中的相关向量坐标化，然后进行向量平行、垂直的坐标运算．

【答案】（1）；（2）或者（2，2）．

【解析】（1）因为，

所以（1），又，

所以2(3+4k)+5(2+k)=0，解得；

（2），且满足，又，

所以，解得  或 

    所以或者（2，2）．

举一反三：

【变式】平面内给定三个向量，回答下列问题：

(1)求满足的实数m，n；

(2)若，求实数k；

(3)若满足，且，求.

【解析】(1)由题意得，所以，得.

(2)，

；

(3)

由题意得，得或.

例5.已知

(1)求；

(2)当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？

【解析】(1)因为所以，则

(2)，

因为与平行，所以即得.

此时，，则，即此时向量与方向相反.

【总结升华】上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法.

举一反三：

【变式】已知=(3，4)，=(4，3)，求x，y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1.

【解析】由=(3，4)，=(4，3)，有x+y=(3x+4y，4x+3y)；

又(x+y)⊥(x+y)·=０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y=0                      ①；

又｜x+y｜=1｜x+y｜２=１；

(3x+4y)２＋(4x+3y)２=１；

整理得25x２＋48xy+25y２=１即x(25x+24y)+24xy+25y２=１     ②；

由①②有24xy+25y２=１               ③；

将①变形代入③可得：y=±；

再代回①得：.

【总结升华】这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.

类型四：平面向量的夹角问题

例6.（2015 重庆）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A．    B．    C．    D．

【思路点拨】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量，的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．

【答案】C

【解析】由已知非零向量，满足，且，设两个非零向量，的夹角为，所以，即，所以，θ∈[0，π]，所以；

故选C．

举一反三：

【变式】与向量的夹角相等，且模为1的向量是  (  )

(A)                 (B) 或

(C)              (D)或

【解析】设所求平面向量为，由或时，

当时，；

当时，

故平面向量与向量的夹角相等.故选B.

例7.设向量与的夹角为，且，则=_____.

【思路点拨】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.

【解析】设，由

得

，故填.

例8.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角.

【解析】由题意，，且与的夹角为，

所以，，

，

，

同理可得.

而，

设为与的夹角，

则.

例9.已知、都是非零向量，且+3与垂直，与垂直，求与的夹角θ。

【思路点拨】把向量垂直转化为数量积为0联立求与的关系应用夹角公式求结果。

【解析】

例10.已知向量，（1）求证：;（2）若存在不等于0的实数k和t，使满足试求此时的最小值。

【思路点拨】（1）可通过求证明;

（2）由得，即求出关于k，t的一个方程，从而求出的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值。

【解析】（1）

（2）由得，即

举一反三：

【变式】（2015秋 贵州凯里市期末）已知向量，，，，m∈R，k，t为正实数．

（1）若，求m的值；

（2）若，求m的值；

（3）当m=1时，若，试确定k与t的关系式．

【答案】（1）－4；（2）1；（3）

【解析】（1）∵，，，

∴m―(―2)×2=0，

∴m=－4．

（2）∵，∴，

∴1×(－2)+2m=0，

∴m=1．

（3）当m=1时，∵，∴．

则，

∴．

类型五：平面向量综合问题

例11.已知向量与的对应关系用表示.

(1)证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；

(2)设，求向量及的坐标；

(3)求使，(p，q为常数)的向量的坐标.

【解析】(1)设，则，

故，

∴

(2)由已知得=(1，1)，=(0，-1)

(3)设=(x，y)，则，

∴y=p，x=2p-q，即=(2p-q，p).

例12.求证：起点相同的三个非零向量，，3-2的终点在同一条直线上.

证明：设起点为O，=，=，=3-2，

则=2(-)，=-，，

∵ 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，

即向量，，3-2的终点在同一直线上.

【总结升华】

(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点；

(2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点.

例13.已知.

【思路点拨】，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式.

【证明】设

则.

【总结升华】在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等.

例14. 已知=(cosx+sinx,sinx), =(cosx-sinx,2cosx).

（1）记f(x)= ·,若x∈［0,］，求f(x)的值域；

（2）求证：向量与向量不可能平行.

【解析】（1）f(x)==(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosx

=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x

又

∴f(x)的值域为［-1，］.

（2）假设则2cosx(cosx+sinx)

=sinx(cosx-sinx),

即2cos2x+2sinxcosx=sinxcosx-sin2x,

sin2x+sinxcosx+2cos2x=0,

①当cos2x=0时，sin2x=1,上式不成立；

②当cos2x≠0时，tan2x+tanx+2=0无解.

故假设不成立，向量与向量不平行.

举一反三：

【变式】设函数，其中向量=(m，cos2x)，=(1+sin2x，1)，x∈R，且函数y=f(x)的图象经过点，

(Ⅰ)求实数m的值；

(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.

【解析】(Ⅰ)，

由已知，得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，

当时，的最小值为，

由，得值的集合为.