知识讲解_空间直角坐标系_提高练习题

空间直角坐标系

【学习目标】

通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.

【要点梳理】

要点一、空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3.空间点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

要点二、空间直角坐标系中点的坐标

1.空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.

特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.

2.空间直角坐标系中对称点的坐标

在空间直角坐标系中，点，则有

点关于原点的对称点是；

点关于横轴(x轴)的对称点是；

点关于纵轴(y轴)的对称点是；

点关于竖轴(z轴)的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是；

点关于坐标平面的对称点是.

要点三、空间两点间距离公式

1.空间两点间距离公式

空间中有两点，则此两点间的距离

.

特别地，点与原点间的距离公式为.

2.空间线段中点坐标

空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.

【典型例题】

类型一：空间坐标系

例1．画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。

    （1）求各顶点的坐标；

（2）求棱C1C中点的坐标；

（3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。

【答案】（1）略（2）（3）

【解析】如图所示，由棱长为1，可得

（1）各顶点坐标分别是A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）；

（2）棱CC1中点为；

（3）平面AA1B1B对角线交点为。

【总结升华】（1）空间的中点坐标公式：设A（x1，y1，z1）、B（x2，y2，z2），则AB的中点为。

（2）熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。

举一反三：

【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标．

【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。

例2．在平面直角坐标系中，点P（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下：

    （1）关于原点的对称点是P＇（－x，－y）；

    （2）关于轴的对称点是P＂（x，－y）；

    （3）关于轴的对称点是P（－x，y）．

    那么，在空间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为：

    ①关于原点的对称点是P1________；

    ②关于横轴（x轴）的对称点是P2________；

    ③关于纵轴（y轴）的对称点是P3________；

    ④关于竖轴（z轴）的对称点是P4________；

    ⑤关于xOy坐标平面的对称点是P5________；

    ⑥关于yOz坐标平面的对称点是P6________；

    ⑦关于zOx坐标平面的对称点是P7________．

【答案】①（－x，－y，－z）  ②（x，－y，－z）  ③（－x，y，－z）  ④（－x，－y，z）

⑤（x，y，－z）  ⑥（－x，y，z）  ⑦（x，－y，z）

【解析】类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下

结论：①P1（－x，－y，－z）；②P2（x，－y，－z）；③P3（－x，y，－z）；④P4（－x，－y，z）；⑤P5（x，y，－z）；⑥P6（－x，y，z）；⑦P7（x，－y，z）．

 【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如P点关于原点的对称点P1，则有PP1的中点为原点。由中点坐标公式即可求出P1点坐标．

上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反．

举一反三：

    【变式1】（1）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（    ）．

    A．（－2，1，－4）    B．（－2，－1，－4）    C．（2，－1，4）    D．（2，1，－4）

    （2）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（    ）．

    A．（－2，1，－4）    B．（－2，－l，－4）    C．（2，－1，4）    D．（2，1，－4）

【答案】（1）B  （2）A

【变式2】（2015春 福建漳州期末）如图，长方体中，|OA|=4，|OC|=6，，与相交于点P，则点P的坐标是（    ）

A．（6，2，1）    B．（1，2，6）

C．（4，6，2）    D．（2，6，1）

【思路点拨】根据图中直角坐标系，得出点B、的坐标，再求出的中点坐标P．

【答案】D

【解析】根据题意，得：

点B（4，6，0），点（0，6，2），

且P是的中点，

∴，即P（2，6，1）．

故选D．

类型二：两点间的距离公式

例3．如图所示，在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点O作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离。

【答案】

【解析】由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0）。

设D（x，y，0）。在Rt△AOC中，

|OA|=2，|OC|=3，，∴．

    如右图，过点D分别作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，则Rt△ODA与Rt△OMD相似，

可得，∵|OM|=x，∴|OD|2=x·|OA|，∴．

同样的，利用Rt△ODC与Rt△ODN相似，

可得．∴．

    ∴．

    【总结升华】若原题目中没有建立坐标系，要注意根据几何图形建立合适的坐标系，原则是尽可能多的点在坐标轴或坐标平面上。

    举一反三：

   【变式1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N在C1D上且为C1D的中点，求M、N两点间的距离．

【答案】M、N两点间的距离为。

【变式2】（2016 湖北枣阳市月考）在空间直角坐标系中，解答下列各题：

（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为；

（2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．

【思路点拨】（1）设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意．

（2）先设点M（x，1－x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．

【答案】（1）（9，0，0）或（―1，0，0）；（2）（1，0，0）

【解析】（1）设点P的坐标是（x，0，0），

由题意，

即，

∴(x―4)2=25，解得x=9或x=―1．

∴点P坐标为（9，0，0）或（―1，0，0）．

先设点M（x，1―x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．

（2）设点M（x，1―x，0）

则

∴当x=1时，．

∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．

例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：PA⊥PB1．

    【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设棱长为1，则A（1，0，0），B1（1，1，1），，

由两点间的距离公式得

，

，。

    ∵|AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，∴AP⊥PB1．

   【总结升华】本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比较，也更体现出了坐标法解题的优越性．

    依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利用空间中两点问的距离公式可以求距离、证垂直、求

举一反三：

    【变式1】如右图所示，已知PA⊥平面ABCD，平面ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN⊥AB。

    【答案】如图所示，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），设B（a，0，0），D（0，b，0），P（0，0，c），因为M、N分别是AB、PC的中点，所以，。

方法一：连接AN，在△AMN中，有，，，所以|AN|2=|MN|2+|AM|2，所以MN⊥AB。

方法二：连接AN、BN，因为，，所以|AN|2=|BN|2，即|AN|=|BN|，所以△ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，所以MN⊥AB。

    例5．正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动。若|CM|=|BN|=a（）。

    （1）求MN的长度；

（2）当a为何值时，MN的长度最短。

【答案】（1）（2）

【解析】因为平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直。取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图4-3-12所示的空间直角坐标系。

因为|BC|=1，|CM|=a，且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点。

因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，|BN|=a，所以点。

（1）由空间两点间的距离公式，得

，

即MN的长度为。

（2）由（1）得，当（满足）时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为。

【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，并利用二次函数求MN的最小值。

举一反三：

【变式1】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M为AC的中点，点N在DD1上运动，求|MN|的最小值.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知点M的坐标为(，，0)，由于点N在z轴上，故设N的坐标为(0，0，z)，由两点间的距离公式可得：|MN|=.要使|MN|最小，只需z=0，∴当点N在原点时，|MN|有最小值为.