知识讲解_直线、平面平行的判定_提高练习题

直线、平面平行的判定

【学习目标】

1.掌握直线与平面平行的判定定理；

2.掌握两平面平行的判定定理；

3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．

【要点梳理】

【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】

要点一、直线和平面平行的判定

文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.

图形语言：

符号语言：、，.

 要点诠释：

（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：

①直线a在平面外，即；

②直线b在平面内，即；

③直线a，b平行，即a∥b．

这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．

（2）定理的作用

将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．

要点二、两平面平行的判定

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

图形语言：

符号语言：若、，，且、，则.

要点诠释：

（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．

（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．

要点三、判定平面与平面平行的常用方法

1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．

2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．

3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．

【典型例题】

类型一、直线与平面平行的判定

例1．已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC//平面EFG， BD//平面EFG．

【解析】 欲证明AC∥平面EFG，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC平行于平面EFG内的一条直线，如右图可知，只需证明AC∥EF．

证明：如右图，连接AC，BD，EF，GF，EG．

在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，∴AC∥EF，

又AC平面EFG，EF平面EFG，

于是AC∥平面EFG．

同理可证BD∥平面EFG．

【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．

例2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如右图．求证：PQ∥平面CBE．

证明：作PM∥AB交BE于点M，QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN．

∴，．

∵AP=DQ，∴EP=BQ．

又∵AB=CD，EA=BD，

∴PMQN．

∴四边形PMNQ是平行四边形．

∴PQ∥MN．

综上，PQ平面CBE，MN平面CBE，

又∵PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE．

【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．

举一反三：

【变式1】如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．

（1）证明：EF∥平面PAD；

（2）求三棱锥E—ABC的体积V．

【解析】（1）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．

又BC∥AD，∴EF∥AD．

又∵AD平面PAD，EF平面PAD，

∴EF∥平面PAD．

（2）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，如下图，

则EG⊥平面ABCD，且．

在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，

∴，．

∴，

∴．

【变式2】（2016 陕西模拟）如图，在直四棱柱ABCD—中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，=2，E，分别是棱AD，的中点．

设F是棱AB的中点，证明：直线∥平面．

【思路点拨】取的中点为，连接，，要证明直线∥平面，只需证明∥，就证明了∥平面内的直线，即可推得结论；

【答案】详见证明

【证明】方法一：取的中点为，连接，，

由于∥∥，所以∈平面，因此平面即为平面．

连接，，由于，所以四边形为平行四边形，因此∥．

又∥，得∥，而平面，平面，故∥平面．

方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，所以CD∥AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC．又∥，FC∩=C，FC平面，所以平面∥平面，又平面，所以∥平面．

【变式3】如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．

求证：EF∥平面PBC．

【证明】连接AF延长交BC于G，

连接PG．

在▱ABCD中，

易证△BFG∽△DFA．

∴ ，

∴EF∥PG．

而EF平面PBC，

PG包含于平面PBC，

∴EF∥平面PBC．

例3．如果平面外的一条直线a和平面内任何一条直线都没有公共点，则这条直线和平面平行．

【证明】假设a不平行于，∵，∴a与相交．

设a∩=A，过A在内作直线b，则，∴a∩b=A．这与已知矛盾，∴a∥．

【总结升华】判定（或证明）直线与平面平行的常用方法：

（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，若直接证明有点困难，则借助反证法来完成证明．

（2）判定定理法：在平面内找到一条直线与它平行，这是最常用的方法．

（3）面面法：利用面面平行的性质（以后学习）来完成证明．

举一反三：

【变式1】  如右图所示，四面体A—BCD中，E，F，G分别是棱BC，CD，DA的中点，则在四面体的棱中，与平面EFG平行的有几条？分别是哪几条？

【解析】因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，又BD平面EFG，EF平面EFG，所以BD∥平面EFG；同理，AC∥平面EFG；

取AB的中点H，连接EH，HG，则HE∥AC∥FG，HG∥BD∥EF，所以四边形EFGH为平行四边形，所以E，F，G，H四点共面，所以AH∩平面EFG=H，AB与平面EFG不平行；

另外易知，AD，CD，BC与平面EFG不平行．

所以，四面体的6条棱中，与平面EFG平行的棱有2条，即BD，AC．

类型二、平面与平面平行的判定

例4．已知正方体ABC D—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．

【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．

【证明】如图，∵ABA1B1，C1D1A1B1，∴ABC1D1，

∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1．

又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1．

同理，BD∥平面AB1D1，

又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1．

【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．

    例5．三棱柱，D是BC上一点，且∥平面，是的中点．

求证：平面∥平面．

【答案】详见证明

【证明】连接交于点E，

∵四边形是平行四边形，

∴E是的中点，连接ED，

∵ ∥平面，

ED包含于平面，

∴ 与ED没有交点，

又∵ED包含于平面，包含于平面，

∴ED∥．

∵E是的中点，∴D是BC的中点．

又∵是的中点，

∴ ，，

∴ ∥平面，∥平面．

又，

∴平面∥平面．

【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．

举一反三：

【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113例1】

【变式1】点P是△ABC所在平面外一点，分别是△PBC，△APC，△ABP的重心，求证：面面ABC.

证明：连，并延长分别交AB，AC于M，Q，连MQ.

因为为重心，所以M，Q分别为所在边的中点.

又直线PM∩PQ=P，所以直线PM，PQ确定平面PMQ,

在△PMQ中，因为为重心，所以，所以.

因为面ABC，面ABC，，所以面ABC

同理面ABC，

因为面，面，，

面ABC，面ABC，

所以面面ABC.

类型三、平行平面间距离的求法

例6．如右图所示，已知正三棱柱A1B1C1—ABC，E、E1分别是AC、A1C1的中点．

（1）求证：平面AB1E1∥平面BEC1；

（2）当该棱柱各棱长都为a时，求（1）中两个平行平面间的距离．

【解析】两平行平面间的距离可转化为线面距离，最终可转化为点面距离．

（1）由于AEE1C1，因此四边形AE1C1E是平行四边形，则AE1∥EC1，则AE1∥平面BEC1．同理，B1E1∥平面BEC1．由两平面平行的判定定理得，平面AB1E1∥平面BEC1．

（2）设平行平面AB1E1与平面BEC1间的距离等于d，则点A到平面BEC1的距离等于d，由等积法得，即．

易知∠AEB=90°，∠BEC1=90°．

则，

，则．

故（1）中两个平行平面间的距离等于．

【总结升华】证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行，即线线平行线面平行面面平行，在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．

若两个平面平行，则一个平面内任一点到另一个平面的距离即为这两个平行平面间的距离．类似地，若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离．因此，面面距离、线面距离最终转化为点到平面的距离，而求点到平面的距离多用等体积方法（如本例中利用VA—BEC1=VC1—ABE）求距离．

举一反三：

【变式1】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点．

(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；

(2)求平面AMN与平面EFDB的距离．

【解析】

(1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC

交BD于O，连接AP、OQ．

由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．

由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．

∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，

∴平面AMN∥平面EFDB．

(2)过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，易得，

由，

根据

则

解得．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.