数学八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形精品教学设计

新知导入

同学们，在上一节课的学习中，我学探究了等边三角形的性质，下面请同学们回答：

想一想：等边三角形都有哪些性质呢？

答案：（1）等边三角形的三边都相等；

（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；

（3）各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等；

（4）轴对称图形，有3条对称轴.

学生根据老师的提问回答问题.

通过回顾等边三角形的性质，为等边三角形的判定定理的探究做好铺垫

新知讲解

下面，让我们一起完成下面的问题：

探究1：当一个三角形满足什么条件时是等边三角形？

猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.

已知：如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.

求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵∠A=∠B ,

∴ BC=AC，

∵∠B=∠C,

∴ AB=AC,

∴AB=BC=AC，

∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义).

归纳1：等边三角形判定定理：

定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等边三角形.

练习1：如图,△ABC是等边三角形，DE//BC,分别交AB,AC于点D,E.

求证：△ADE是等边三角形.

证明：∵ △ABC是等边三角形.

∴∠A=∠B=∠C=60°

∵ DE//BC

∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°

∴∠ADE=∠AED=∠A

∴△ADE是等边三角形.（三个角都相等的三角形是等边三角形）

探究2：当一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？

猜想：有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.

已知：如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=60 °.

求证：△ABC是等边三角形.

证明：∵AB=AC, ∠B=60 °，

∴∠C=∠B=60 °，

∴∠A=60 °，

∴∠A=∠B=∠C ，

∴ △ABC是等边三角形.

追问：当∠A或∠C=60 °时，这个猜想也成立吗?

答案：成立

归纳2：等边三角形判定定理：

定理2：有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.

几何语言：

∵ AB=AC， ∠B=60 °（或∠A=60 °，或∠C=60 °）.

∴△ABC是等边三角形.

.练习2：等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)

A．有一个内角是60°    B．有一个外角是120°

C．有两个角相等    D．腰与底边相等

总结等边三角形的性质和判定：

答案：C

做一做：用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？

答案：

追问1：能拼出一个等边三角形吗？

答案：能

追问2：观察这个等边三角形，你能发现什么结论?

猜想：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30 °，那第它所对的直角边等于斜边的一半.

例1：已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.

求证： BC＝AB.

证明：如图所示，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.

∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.

∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.

∴AC ＝AC,

∴△ABC≌△ADC ( SAS ).

∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）.

∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）

∴ BC＝BD＝AB.

归纳3：直角三角形的性质：

定理：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30 °，那第它所对的直角边等于斜边的一半.

几何语言：

在△ABC中

∵ ∠C=90 °.∠A=30 °.

例2：求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.

已知：如图,在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.

求证：CD＝AB

练习3：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　)

A．BD＝CD    B．BD＝2CD

C．BD＝3CD    D．BD＝4CD

答案：B

学生在老师的引导下进行猜想，并对猜想进行证明.

学生说出证明等边三角形的第一种方法，并和老师学习几何语言的表达形式.

学生应用等边三角形的判定定理1进行证明，然后班内交流，并认真听老师的点评.

学生在老师的引导下进行猜想，并对猜想进行证明.

学生说出证明等边三角形的第二种方法，并和老师学习几何语言的表达形式.

学生应用等边三角形的判定定理2进行判断，然后班内交流.

学生认真操作，并仔细观察小组讨论后，得出猜想，然后班内交流.

学生在老师的引导下进行证明，然后班内交流，最后听老师的点评.

学生归纳出直角三角形的性质，并和老师学习几何语言的表达形式.

学生应用直角三角形的性质对例题及练习进行证明和计算，然后班内交流，并认真听老师的点评.

探究等边三角形判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

归纳等边三角形判定定理1，并掌握其几何语言.

应用判定定理1进行证明，提高学生的应用能力.

探究等边三角形判定定理2：有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.

归纳等边三角形判定定理2，并掌握其几何语言.

应用判定定理2进行证明，提高学生的应用能力.

探究直角三角形的性质：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30 °，那第它所对的直角边等于斜边的一半.

归纳直角三角形的性质，并掌握其几何语言.

应用直角三角形的性质进行证明和计算，提高学生的应用能力.

课堂练习

1.已知在△ABC中，∠A＝60°，如果判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：

①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；

②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；

③如果添加条件“边AB，BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．

上述说法中，正确的有(　　)

A．3个      B．2个      C．1个      D．0个

答案：A

2.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)

A．3 m    B．4 m    C．5 m    D．6 m

答案：B

学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.

拓展提高

如图所示，在正三角形ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由．

解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.

选择△ABD≌△BCE进行证明．

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.

∵∠ABD＝∠ABC－∠2,∠BCE＝∠ACB－∠3,∠2＝∠3，

∴∠ABD＝∠BCE.

在△ABD和△BCE中，

∵∠1＝∠2，AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，

∴△ABD≌△BCE(ASA)．

(2)△DEF是正三角形．理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA.

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD.

∴△DEF是正三角形．

在师的引导下完成问题.

提高学生对知识的应用能力

中考链接

下面让我们一起赏析一道中考题：

(2018·嘉兴)已知:在ΔABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.

求证：ΔABC是等边三角形.

证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵DE⊥AB， DF⊥BC，

∴∠DEA=∠DFC=90°．

∵D为的AC中点，

∴DA=DC．

∵DE=DF，

∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，

∴∠A=∠C，

∴∠A=∠B=∠C，

∴ΔABC是等边三角形．

在师的引导下完成中考题.

体会所学知识在中考试题运用.

课堂总结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

问题1、说一说等边三角形的判定定理？

答案：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形.

（2）有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.

问题2、说一说本节课所学的直角三角形的性质？

答案：在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30 °，那第它所对的直角边等于斜边的一半.

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.

帮助学生加强记忆知识.

作业布置

基础作业

教材第12页习题1.4第1、2题

能力作业

教材第13页习题1.4第3题

学生课下独立完成.

检测课上学习效果.

板书设计

借助板书，让学生知道本节课的重点。