初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形优秀教案

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明1 等腰三角形优秀教案，共7页。

课题
1.1 等腰三角形（3）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：理解并掌握等腰三角形的判定定理及反证法；能运用等腰三角形的判定定理及反证法进行证明；
过程与方法：通过推理证明等腰三角形的判定定理、反证法，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力；
情感态度与价值观：引导学生观察，发现等腰三角形的判定方法，让学生从思考中获得成功体验，增强学习数学的兴趣.
重点
理解并掌握等腰三角形的判定定理和反证法.
难点
运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上一节课的学习中，我学探究了等腰三角形的性质，下面请同学们回答：
问题1、等腰三角形都有哪些性质呢？
答案：等边对等角；三线合一；轴对称图形
问题2、请你把定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设与结论反过来说一下.
答案：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
追问：这个命题成立吗？
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾等腰三角形的性质，为等腰三角形的判定定理探究做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
例1：已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB=AC.
证明：作BC边上的高AD.
则∠ADB＝∠ADC＝90 ° ，
在△ABD和 △ACD中，
∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴ AB=AC .
追问1：你还有其他证明的方法吗?
证明：作∠BAC的平分线AD.
在△ABD和 △ACD中，
∵∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴ AB=AC .
想一想：作BC边上的中线行吗?
答案：不行
归纳：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为：等角对等边.
几何语言：
∵B=C（已知）
∴AB=AC（等角对等边）
例2：已知：如图，AB=DC，BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形.
练习1：在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝80°，∠B＝60°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝70°，∠B＝40°
答案：D
想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
指出：小明是这样想的：
如图，在△ABC中，已 知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB＝AC那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B， 这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，
因此 AB≠AC．
你能理解他的推理过程吗？
归纳：反证法：小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
反证法的一般步骤：
1.假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面成立;
2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨
设∠A和∠B是直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.
于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，
因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
练习2.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°
证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角,且都大于60°,
则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°,
∴∠A+∠B+∠C>180°;
这与三角形的内角和是180定理矛盾
∴假设不成立
∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.
学生在老师的引导下通过添加辅助线构全等的形式进行证明..
（1）作BC边上的高AD
证明后班内交流.
（2）作∠BAC的平分线AD.证明后班内交流.
学生认真思考为什么作BC边上的中线不行，并与同伴交流心得，然后听老师讲评，并学习判定定理的符号语言.
学生在老师的引导下进行证明，然后班内交流，最后听老师的点评.
学生独立完成后，班内交流.
学生认真思考问题，并听老师讲解反证法的概念及步骤.
学生在老师的引导下完成，然后班内交流，最后听老师的点评.
学生独立完成练习，并小组交流，然后老师点评.
用不同方法证明等腰三角形的判定定理，并体会各种证法中的内在联系.
掌握等腰三角形判定定理的几何语言表达形式.
应用等腰三角形判定定理进行证明
掌握反证法的概念及步骤.
提高学生对反证法的应用能力.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．2个
答案：C
2.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设( )
A．有一个锐角小于45° B．每一个锐角都小于45°
C．有一个锐角大于45° D．每一个锐角都大于45°
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，长方形ABCD中，AB>AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
证明：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC, AB＝DC.
∵△AEC是由△ABC折叠而成的，
∴AD＝BC＝EC，AB＝DC＝AE.
在△ADE和△CED中，
AD＝CE，DE＝ED，AE＝CD，
∴△ADE≌△CED(SSS)．
（2）∵△ADE≌△CED，
∠AED＝∠CDE，
∴FD＝FE.
△DEF是等腰三角形．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2017·内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE//AC．求证：△BDE是等腰三角形．
证明：∵DE//AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说等腰三角形的判定定理？
答案：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
（等角对等边）
问题2、说一说反证法的步骤？
答案：（1）假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面 成立;
（2）归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
（3）结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第10页习题1.3第2、3题
能力作业
教材第10页习题1.3第4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
课题：1.1 等腰三角形（3）
教师板演区
学生展示区
1、等腰三角形的判定定理：等角对等边
2、反证法
（1）假设
（2）归谬
（3）结论
借助板书，让学生知道本节课的重点。