解答题专练之解三角形解析版

这是一份解答题专练之解三角形解析版，共7页。

(1)求A；
(2)若c＝5，求b。
解 (1)因为asin B＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))，
所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))。
因为sin B≠0，
所以sin A＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)cs A＋eq \f(1,2)sin A，
即tan A＝eq \r(3)。
又因为0(2)选①a＝7。
在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得b2－5b－24＝0，解得b＝8或b＝－3(舍去)，
所以b＝8。
选②C＝eq \f(π,4)。
sin B＝sin(A＋C)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,4)))
＝sineq \f(π,3)cseq \f(π,4)＋cseq \f(π,3)sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得eq \f(b,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq \f(5,\f(\r(2),2))，
解得b＝eq \f(5\r(3)＋5,2)。
选③a＝eq \r(3)b。
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A
得(eq \r(3)b)2＝b2＋25－10bcseq \f(π,3)，
即2b2＋5b－25＝0，
解得b＝eq \f(5,2)或b＝－5(舍去)，
所以b＝eq \f(5,2)。
3．(2021·山东泰安高三模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sin B)，n＝(b－a，sin A＋sin C)，满足m∥n。
(1)求C；
(2)若eq \r(6)c＋3b＝3a，求sin A。
解 (1)因为m∥n，所以(c－a)(sin A＋sin C)＝(b－a)sin B，
由正弦定理得(c－a)(a＋c)＝(b－a)b，
所以a2＋b2－c2＝ab，
所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，
因为C∈(0，π)，故C＝eq \f(π,3)。
(2)由(1)知B＝eq \f(2π,3)－A，
由题设及正弦定理得eq \r(6)sin C＋3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＝3sin A，
即eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)cs A＋eq \f(1,2)sin A＝sin A，
可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)。
由于0所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)，
故sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))cseq \f(π,3)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))sineq \f(π,3)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)。
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csin A＋eq \r(3)asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,2)))＝0，c＝6。
(1)求△ABC外接圆的面积；
(2)若c＝eq \r(3)b，eq \(AM,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up15(→))，求△ACM的周长。
解 (1)因为csin A＋eq \r(3)asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,2)))＝0，
所以csin A＋eq \r(3)acs C＝0，
由正弦定理得sin Csin A＋eq \r(3)sin Acs C＝0，
因为sin A≠0，所以sin C＋eq \r(3)cs C＝0，得tan C＝－eq \r(3)，
又0所以△ABC外接圆的半径
R＝eq \f(1,2)·eq \f(c,sin C)＝eq \f(1,2)×eq \f(6,\f(\r(3),2))＝2eq \r(3)，
所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π。
(2)由c＝6及c＝eq \r(3)b，得b＝2eq \r(3)，
所以sin B＝eq \f(sin C·b,c)＝eq \f(1,2)，
因为C＝eq \f(2π,3)，则B为锐角，
所以B＝eq \f(π,6)，故A＝π－B－C＝eq \f(π,6)。
如图所示，在△ACM中，由余弦定理得
CM2＝AM2＋AC2－2AM·AC·cs A＝22＋(2eq \r(3))2－2×2×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝4，
解得CM＝2，
则△ACM的周长为4＋2eq \r(3)。
5．(2021·福建福州高三期中)在①S△ABC＝2eq \r(3)，②a－b＝1，③sin A＝2sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由。
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝eq \r(7)，csin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))？
解 因为csin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))，
所以sin Csin A＝sin Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))，
又因为sin A≠0，所以sin C＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C－\f(π,6)))，
即sin C＝eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C，
eq \f(1,2)sin C＝eq \f(\r(3),2)cs C，tan C＝eq \r(3)，
又0由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，
即a2＋b2－ab＝7，
选①。因为S△ABC＝eq \f(1,2)absin C，所以ab＝8，所以(a－b)2＝a2＋b2－ab－ab＝7－8＝－1，与(a－b)2≥0矛盾，
所以满足条件的三角形不存在。
选②。因为a－b＝1，所以a2＋b2－2ab＝1，
又a2＋b2－ab＝7，所以ab＝6，
故a2＋b2＋2ab＝25，即a＋b＝5，
所以三角形的周长为a＋b＋c＝5＋eq \r(7)。
选③。因为sin A＝2sin B，所以a＝2b，
联立a2＋b2－ab＝7，解得a＝eq \f(2\r(21),3)，b＝eq \f(\r(21),3)，
所以三角形的周长为a＋b＋c＝eq \r(21)＋eq \r(7)。
6．(2021·山东菏泽高三期末)在①(a2＋c2－b2)sin B＝eq \f(\r(3),2)ac，且B>eq \f(π,4)；②eq \f(bsin A,1－cs B)＝eq \r(3)a；③eq \f(sin B＋sin C,sin A－sin C)＝eq \f(a,b－c)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题。
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________。
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求a的取值范围。
解 (1)选①。因为(a2＋c2－b2)sin B＝eq \f(\r(3),2)ac，
且a2＋c2－b2＝2accs B，
所以2accs Bsin B＝eq \f(\r(3),2)ac，
所以sin 2B＝eq \f(\r(3),2)。
又eq \f(π,4)所以2B＝eq \f(2π,3)，所以B＝eq \f(π,3)。
选②。由正弦定理得eq \f(sin Bsin A,1－cs B)＝eq \r(3)sin A，
因为sin A≠0，
所以sin B＝eq \r(3)－eq \r(3)cs B，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)。
又0所以B＋eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3)，所以B＝eq \f(π,3)。
选③。由正弦定理得eq \f(b＋c,a－c)＝eq \f(a,b－c)，
即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(ac,2ac)＝eq \f(1,2)，
又0(2)因为△ABC是锐角三角形，B＝eq \f(π,3)，
所以A＝eq \f(2π,3)－C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
且C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得eq \f(π,6)由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(2,sin C)，
所以a＝eq \f(2sin A,sin C)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,3))),sin C)
＝eq \f(sin C＋\r(3)cs C,sin C)＝1＋eq \f(\r(3),tan C)。
因为eq \f(π,6)eq \f(\r(3),3)，
所以0所以1<1＋eq \f(\r(3),tan C)<4，
即a得取值范围是(1,4)。