解答题专练之概率与统计解析版

这是一份解答题专练之概率与统计解析版，共9页。


(1)求b的值，并估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)
(2)结合频率分布直方图，请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”。
附：随机变量K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
解 (1)由已知得(0.015＋b＋0.03)×10＝0.85，
解得b＝0.04，
又(0.005＋a)×10＝1－0.85，
解得a＝0.01，
所以评分的平均值为55×0.05＋65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.15＝80。
(2)由题意可得，2×2列联表如下表：
因此K2＝eq \f(100×20×15－35×302,55×45×50×50)≈9.091>6.635，
所以能有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”。
2．(2021·北京高考)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测。现有100人，已知其中2人感染病毒。
(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为eq \f(1,11)，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)。
解 (1)①共检测两轮：第一轮，100人分10组，故检测了10次；第二轮，对两名患者所在组的每个人都进行一次检测，共10次，故总检测次数为10＋10＝20次。
②由①知，两名感染患者在同一组时，共需检测20次；若两名患者不在一组，需要检测10＋10＋10＝30次，故X可取值为20,30，则P(X＝20)＝eq \f(1,11)，P(X＝30)＝1－eq \f(1,11)＝eq \f(10,11)，故X的分布列为
所以E(X)＝20×eq \f(1,11)＋30×eq \f(10,11)＝eq \f(20＋300,11)＝eq \f(320,11)。
(2)E(X)3．(2021·安徽池州高三模拟)2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品。根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%。为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口罩，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z服从正态分布N(μ，σ2)。假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立。记X表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于μ－3σ的数量。
(1)求P(X≥1)的概率；
(2)求X的数学期望E(X)；
(3)一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z小于μ－3σ的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解 (1)抽取口罩中过滤率在(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率P(μ－3σ所以P(Z≤μ－3σ)＝eq \f(1－0.997 4,2)＝0.001 3。
所以P(Z>μ－3σ)＝1－0.001 3＝0.998 7，
故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.998 710＝1－0.987 1＝0.012 9。
(2)由题意可知X～B(10,0.001 3)，所以E(X)＝10×0.001 3＝0.013。
(3)如果按照正常状态生产，由(1)中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于μ－3σ的概率P(Z≤μ－3σ)＝eq \f(1－0.997 4,2)＝0.001 3，一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等于μ－3σ的概率P(X≥1)＝0.012 9，发生的概率非常小，属于小概率事件。所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，可见这种监控生产过程的方法合理。
4．(2021·宁夏石嘴山高三模拟)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生的学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如图所示。
(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；
(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X的分布列及均值E(X)；
(3)试比较男生学习时间的方差seq \\al(2,1)与女生学习时间的方差seq \\al(2,2)的大小。(只需写出结论)
解 (1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人。
故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×eq \f(12,20)＝240。
(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4，
故X的所有可能取值为0,1,2,3,4。
由题意可得
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,8))＝eq \f(1,70)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(3,4),C\\al(4,8))＝eq \f(16,70)＝eq \f(8,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,4),C\\al(4,8))＝eq \f(36,70)＝eq \f(18,35)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,4),C\\al(4,8))＝eq \f(16,70)＝eq \f(8,35)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,8))＝eq \f(1,70)。
所以随机变量X的分布列为
所以均值E(X)＝0×eq \f(1,70)＋1×eq \f(8,35)＋2×eq \f(18,35)＋3×eq \f(8,35)＋4×eq \f(1,70)＝2。
(3)由折线图可得seq \\al(2,1)>seq \\al(2,2)。
5．体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病。对于n(n∈N*)份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n次。二是混合检验，将n份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n份血液检验的次数共为n＋1次。已知每位体检人未患有该疾病的概率为eq \r(3,p)(0(1)若p＝eq \f(8,9)，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率；
(2)某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案：
方案一：采用混合检验；
方案二：平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验。
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”。试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由。
解 (1)该混合样本阴性的概率是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,\f(8,9))))3＝eq \f(8,9)，
根据对立事件可得，阳性的概率为1－eq \f(8,9)＝eq \f(1,9)。
(2)方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1,7，
P(X＝1)＝(eq \r(3,p))6＝p2；P(X＝7)＝1－p2，其分布列为
则E(X)＝7－6p2，
方案二：由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1，概率为(eq \r(3,p))3＝p，若阳性，则检测次数为4，概率为1－p，
方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2,5,8，
P(Y＝2)＝p2；P(Y＝5)＝Ceq \\al(1,2)p(1－p)＝2p(1－p)；
P(Y＝8)＝(1－p)2。
其分布列为
则E(Y)＝2p2＋5(2p－2p2)＋8(1－p)2＝8－6p，
E(Y)－E(X)＝8－6p－(7－6p2)＝6p2－6p＋1，
当0当p＝eq \f(3－\r(3),6)或p＝eq \f(3＋\r(3),6)时，可得E(X)＝E(Y)，
所以方案一、二一样“优”；
当eq \f(3－\r(3),6)所以方案二更“优”。
6．(2021·山东菏泽高三模拟)中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通。随着“一带一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了中国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场。为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G由3个相同的电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为eq \f(2,3)，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元。
(1)求系统需要维修的概率；
(2)该电子产品共有3个系统G，设ξ为电子产品所需要维修的费用，求ξ的期望；
(3)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作。问：p满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率？
解 (1)系统需要维修的概率为
Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＋Ceq \\al(1,3)eq \f(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(7,27)，
(2)设X为需要维修的系统的个数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,27)))，且ξ＝900X，
所以E(ξ)＝900E(X)＝900×3×eq \f(7,27)＝700(元)。
(3)当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统G才正常工作。
①若前3个电子元件中有1个正常工作，则同时新增的两个必须都正常工作，则概率为
Ceq \\al(1,3)eq \f(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2·p2＝eq \f(2,9)p2；
②若前3个电子元件中有2个正常工作，则同时新增的两个中至少有1个正常工作，则概率为
Ceq \\al(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \f(1,3)[Ceq \\al(1,2)p(1－p)＋p2]＝eq \f(4,9)(2p－p2)；
③若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G均能正常工作，则概率为Ceq \\al(3,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)。
所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为
eq \f(2,9)p2＋eq \f(4,9)(2p－p2)＋eq \f(8,27)＝eq \f(8p－2p2,9)＋eq \f(8,27)。
令eq \f(8p－2p2,9)＋eq \f(8,27)>1－eq \f(7,27)，解得2－eq \r(2)当2－eq \r(2)满意
不满意
合计
男生
女生
15
合计
100
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
男生
20
30
50
女生
35
15
50
合计
55
45
100
X
20
30
P
eq \f(1,11)
eq \f(10,11)
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,70)
eq \f(8,35)
eq \f(18,35)
eq \f(8,35)
eq \f(1,70)
X
1
7
P
p2
1－p2
Y
2
5
8
P
p2
2p－2p2
(1－p)2