知识讲解_几类不同增长的函数模型_基础练习题

几类不同增长的函数模型

【学习目标】

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．

3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．

【要点梳理】

   要点一：几类函数模型的增长差异

     一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．

综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有

三类函数模型增长规律的定性描述：

1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；

2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；

3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．

如图所示：

要点诠释：

当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．

要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型

   若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．

常用的函数模型有以下几类：

（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．

（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数．

（3）指数函数模型

（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．

（4）对数函数模型

（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．

（5）反比例函数模型

．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．

（6）分段函数模型

当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．

【典型例题】

类型一、研究函数的变化规律并比较其大小

例1．（1）已知函数，分别求在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．

（2）比较2x与x2的大小关系．

（3）通过作图，比较2x、x2、log2x的大小关系．

【答案】（1）3 （2）略（3）略

【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．

  （1）应用计算器或计算机，以合适的长列出自变量与函数值的对应值表．

应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．

∴共有3个零点，分别为x1≈－0.7666，x2=2.000，x3=4.000．

（2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x，y=x2，y=log2x的图象，如图所示．

当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；

当x∈（－0.7666，2.000）时，2x＞x2；当x=－0.7666时，2x=x2；

当x∈（2.000，4.000）时，2x＜x2；当x=2.000时，2x=x2；

当x∈（4.000，+∞）时，2x＞x2；当x=4.000 ，2x=x2．

（3）当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；log2x不存在；

当x∈（－0.7666,0）时，2x＞x2；log2x不存在；当x=－0.7666时，2x=x2；

当x∈（0，2.000）时，log2x＜x2＜2x；

当x∈（2.000，4.000）时，log2x＜2x＜x2；当x=2.000时，log2x＜2x=x2；

当x∈（4.000，+∞）时，log2x＜x2＜2x；当x=4.000时，log2x＜x2=2x．

【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x0，使得当x＞x0时，logax＜xn＜ax（a＞1）恒成立．但在（0，x0）上，该不等式不一定成立．

举一反三：

【变式1】（2015 北京高考）三个数中最大的数是          ．

【答案】

【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题．

，所以最大．

故答案为：．

类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型

【高清课程：几类不同增长的函数模型377565 例1】

例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．

【解析】设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．

如图

举一反三：

【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某市每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法，具体规定如下：

解答以下问题：（1）写出每月电费（元）与用电量（千瓦时）的函数关系式；  

         （2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？

【答案】（1）；（2）350

【解析】（1）当时，

　　　　　  当时，

　　　　    当时，

    （2）由（1）知

　　　　 由，得x=350

　　　   ∴ 该家庭月用电量为350千瓦时

例3．（2016 江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：，，当m―n≥0时，称不亏损企业；当m－n＜0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．

（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？

（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？

【思路点拨】（1）通过解不等式m－n≥0，计算即得结论；

    （2）通过（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论．

【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x=1时，n－m取最大值

【解析】（1）依题意，m－n≥0，即，

整理和：，

解得：x≥4或x≤－2（舍），

∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；

（2）由（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，

亏损额，

∴当x=1时，n－m取最大值，

答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．

【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累．

举一反三：

【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例3】

【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x = t（0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数y = f（t）的图象大致是（   ）

【答案】D

【解析】 函数    故选 D．

例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？

【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．

【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题．

 已知本金为a元．

1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r)；

2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；

3期后的本利和为y3=a(1+r)3；

……

x期后的本利和为y=a(1+r)x．

将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得

y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255．

由计算器算得y=1117.68（元）．

答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．

【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．

举一反三：

【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．

【答案】219.01

【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：

（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；

（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？

【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．

【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．

（1）1年后该城市人口总数为：

y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；

2年后该城市人口总数为：

y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；

3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3；

……

x年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x．

（2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）．

（3）设x年后该城市人口将达到120万人，

即100×(1+1.2%)x=120，

．

（4）设年增长率为x，依题意，得100×(1+x)20≤120，

由此有(1+x)20≤1.2，

由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%，

即年自然增长率应控制在0.9%以内．

【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．