2020-2021学年漳州市南靖县八年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

2020-2021学年福建省漳州市南靖县八年级上期中试题（数学）

时间：120分  满分：150分

一、选择题（共40分，每小题4分）

1. 下面与互为相反数的是（    ）

A.  B.  C. 5 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据相反数的定义即可得出答案；

【详解】解：与互为相反数的是；

故选：B

【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2. 下列命题中，逆命题是真命题的是（    ）

A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等

C. 若，则． D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】分别写出原命题的逆命题再进行判断即可；

【详解】解：A. 对顶角相等的逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；   

B. 全等三角形的对应角相等的逆命题：对应角相等的三角形全等，是假命题；

C. 若，则的逆命题：若，则，是真命题；

D. 若，则的逆命题：若，则，∵，，∴是假命题

故选：C

【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了逆命题．

3. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一进行计算即可得出答案；

【详解】解：A. 与不是同类项不能合并，选项A错误；

B. 与不是同类项不能合并，选项B错误；

C.，选项C错误；

D.，选项D正确；

故选：D

【点睛】本题考查了整式的运算，涉及到合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握相关知识是解题的关键．

4. 如图，在△ABC中，AC＝BC，用尺规作CF⊥AB，交AB于点G，若∠BCG＝50°，则∠A的度数为（　　）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

【答案】A

【解析】

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由直角三角形两锐角互余的性质即可求得∠A．

【详解】解：，，

，

，

故选：．

【点睛】本题考查了等腰三角形性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．

5. 如图，D、E分别是AB、AC上的点，CD、BE相交于点O，已知．现在添加以下一个条件能判断的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知条件、∠A=∠A，结合各选项条件分别依据“AAS、ASA、SSA、SAS”，逐一作出判断即可得，其中SSA不能任意判定三角形全等．

【详解】解：A．由CD=BE、∠A=∠A、AB=AC不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；

B．由CD=BE、∠A=∠A、不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；

C．由CD=BE、∠A=∠A、可依据“AAS”△ABE≌△ACD，此选项符合题意；

D．由CD=BE、∠A=∠A、不能判定△ABE≌△ACD，此选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

6. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．

【详解】解：、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

、等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

、等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：．

【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

7. 下列说法正确的是（    ）

A. 0没有平方根 B. 1的立方根与平方根都是1

C. 25的算术平方根是5 D. 的值是

【答案】C

【解析】

【分析】根据平方根、立方根、算数平方根的意义逐一进行判定即可

【详解】解：A. 0的平方根是0，选项A错误；

B. 1的立方根是1，1的平方根是，选项B错误；

C. 25的算术平方根是5， 选项C正确；

D. 的值是，选项D错误；

故选：C

【点睛】本题考查了平方根、立方根、算数平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键

8. 如图，在中，D、E是两边AB、AC上点，，，若，，则的度数是（ ）

A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°

【答案】D

【解析】

【分析】先根据等腰三角形和平行线的性质得出，从而得出，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；

【详解】解：∵，

∴∠ABD=∠EDB，

∵，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠CBD=∠ABD，

∵，

∴，

在△ABC中，，

∠A=180°-∠ABC-∠C=75°，

故选：D

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键.

9. 按照下列程序进行计算，最后输出的答案是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序图即可列出代数式；

【详解】解：根据题意得：

最后输出的答案是；

故选：B

【点睛】本题考查了利用流程图列代数式，掌握平方和平方根定义是解题的关键

10. 如图，在长方形ABCD中，，E为BC边上一点，且，连接DE，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着运动，到达点A立即停止，运动时间记为t秒，当与全等时，t的值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 3或13 D. 2或13

【答案】D

【解析】

【分析】分点P在BC上，点P在DC上，点P在AD上三种情况加以讨论即可；

【详解】解：长方形ABCD中，，

∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=3，AD=BC=6，

①当点P在BC上时，

∵，，

∴BP=CE=2，

∴t=2；

②当点P在DC上时，

是锐角三角形，不可能与全等；

③当点P在AD上时，

∵，，

∴AP=CE=2，

∴15-t=2

∴t=13；

故选：D

【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．

二、填空题（共24分，每小题4分）

11. 在实数，0，-3.14，，，中，无理数有_____________个．

【答案】2

【解析】

【分析】根据无理数的定义，找出其中的无理数即可．

【详解】解：在实数，0，-3.14，，，中，无理数有，，共有2个；

故答案为：2

【点睛】此题考查了无理数，关键是根据无理数的定义找出所有的无理数，不要漏数，是一道基础题．

12. 已知实数a、b满足，，则的值为____________．

【答案】9

【解析】

【分析】利用完全平方公式即可得出答案；

【详解】解：∵，，

∴；

故答案为：9

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题的关键

13. 如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为_______________°．

【答案】30°

【解析】

【详解】试题解析：∵△ACB≌△A′CB′，

∴∠ACB=∠A′CB′，

即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，

∴∠ACA′=∠B′CB，

又∠B′CB=30°

∴∠ACA′=30°．

14. 若一个正数的两个不相等的平方根是和，则这个数是____________．

【答案】16

【解析】

【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；

【详解】解：由题意得，a+2+3a-10=0，

解得a=2，

所以（a+2）2=42=16，

故答案是16.

【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键，

15. 若，则____________．

【答案】-2001

【解析】

【分析】先利用多项式乘多项式化简，再将代入即可；

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴；

故答案为：-2001

【点睛】本题考查了多项式乘多项式，以及求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键

16. 如图，在中，，AM和BN分别是、的平分线，若的周长为10，，则AB的长为____________．

【答案】4

【解析】

【分析】在AC上取点D，使AD=AB，连接DM，利用SAS证明△ABM≌△ADM，得出BM=DM=2，∠ABC=∠ADM=2∠C，结合已知得出DM=DC=2，从而得出AC-AB=2，再根据等腰三角形的判定结合已知得出AC+AB=10，由此即可得出答案；

【详解】解：在AC上取点D，使AD=AB，连接DM，

∵AM和BN分别是、的平分线，

∴∠BAM=∠DAM，∠ABC=2∠ABN=2∠CBN，

∵AM=AM

∴△ABM≌△ADM，

∴BM=DM=2，∠ABC=∠ADM=2∠C，

∵∠ADM=2∠C=∠C+∠DMC

∴∠C=∠DMC

∴DM=DC=2

∴AC-AB=2①，

∵，

∴∠CBN=∠C，

∴BN=NC，

∵的周长为10，

∴AB+AN+BN=10，

∴AB+AN+CN=AB+AC=10②，

②-①得：AB=4

故答案为：4

【点睛】本题考查了等腰的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质，得出DM=DC=2是解题的关键．

三、解答题：（共84分）

17. （1）计算：．

（2）因式分解：．

【答案】（1）-1；（2）

【解析】

【分析】（1）根据有理数平方、算数平方根、立方根以及绝对值进行计算即可；

（2）提公因式a，再利用平方差公式因式分解即可；

【详解】解：（1）

；

（2）

【点睛】本题考查了实数的运算，利用平方差公式因式分解，熟练掌握相关的知识是解题的关键

18. 先化简，再求值：，其中，．

【答案】，3

【解析】

【分析】首先利用平方差公式、完全平方公式、以及多项式除以单项式化简多项式，进而将，代入即可；

【详解】解：，

，

，

，

，

当，时，原式=5-2=3

【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，正确运用平方差和完全平方公式是解题关键．

19. 如图，在中，．

（1）作的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）在（1）的条件下，若，，则的面积为_________．

【答案】（1）见解析；（2）15

【解析】

【分析】（1）根据基本作图-作角平分线的方法作出图形即可．

（2）过点D作DE⊥AB于E．证明DE=DC=3，再利用三角形的面积公式可得结论．

【详解】解：（1）如图所示：

（2）过点D作DE⊥AB于E．

∵，AD平分∠BAC，，，

∴DE=DC=3，

∴

【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20. 阅读下面的文字，解答问题．

例如：∵，即，∴的整数部分为1，小数部分为．

请解答：（1）的整数部分是____________，小数部分是_____________．

（2）已知的整数部分是，小数部分是，求的值．

【答案】（1）3，；（2）

【解析】

【分析】（1）根据算术平方根的定义得到，即可得出答案；

（2）根据算术平方根的定义得到，从而得出和的值，即可得出的值；

【详解】解：（1）∵，即，

∴的整数部分为3，小数部分为；

（2）∵，即，

∴，

∴的整数部分为，小数部分为；

∴

【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根的定义估算出m，n是解答此题的关键．

21. 如图，在和中，，，垂足为，，点E、F分别在AB和AC上，且满足．

（1）求证：是等边三角形．

（2）求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一得出，再根据等边三角形的判定即可得出结论；

（2）利用ASA得出△ADE≌△CDF即可得出结论；

【详解】解：（1）∵，，，

∴

∵，

∴是等边三角形；

（2）∵是等边三角形，

∴，，

∵

∴，

∴，

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF

∴

【点睛】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理的运用是解题的关键．

22. 阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．

（1）比较大小：__________（填写>、<或=）．

（2）比较与的大小（写出比较的具体过程）．

（3）计算．

【答案】（1）＞；（2）＜；（3）-4

【解析】

【分析】（1）根据同指数的幂底数越大幂越大，可得答案；

（2）根据幂的乘方，可得指数相同的幂，根据底数越大幂越大，可得答案；

（3）先根据积的乘方逆运算进行运算，再进行减法运算即可得出答案．

【详解】解：（1）∵5＞4，

∴＞，

故答案为：＞；

（2）∵233=（23）11=811，322=（32）11=911，

又∵8＜9，

∴＜．

（3）

【点睛】本题考查了幂的乘方以及积的乘方，利用同指数的幂底数越大幂越大是解题关键．

23. 综合与实践

下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：

解：设，

原式（第一步）

（第二步）

（第三步）

（第四步）．

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了      ．

A．提取公因式        B平方差公式

C．两数差的完全平方公式     D．两数和的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？      （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为      ．

（3）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．

【答案】（1）D；（2）不彻底；；（3）．

【解析】

【分析】（1）根据第二步到第三步的过程即可知道运用了两数和的完全平方公式；

（2）根据因式分解的步骤进行解答即可；

（3）设，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．

【详解】解：（1）第二步到第三步的过程运用了两数和的完全平方公式，

答案为：D；

（2）仍可进行因式分解，故分解不彻底；

答案为：不彻底；；

（3）设，

原式

．

【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用．

24. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD，

（1）求证：CD⊥AB；

（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，

①求证：DE平分∠BDC；

②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；

③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②：ME=BD，证明详见解析；③∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．

【解析】

【分析】（1）根据中垂线的判定定理“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”可得出结论.

（2）①由∠CAD=15°，BD=AD与直角等腰三角形的性质可知，∠DBA=∠DAB=30°，则可得∠BDE=30°+30°=60°，又根据SSS可证△ADC≌△BDC，则∠ACD=∠BCD=45°，可知∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，故DE平分∠BDC.

②连接MC，由DC=DM，∠CDE=60°，可知△MCD为等边三角形，∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°则根据SAS可证△BDC≌△EMC，得出结论ME=BD.

③根据题意可知，分类：当EN=EC时；当EN=CN时；当CE=CN时三种情况求出∠CNE的度数.

【详解】（1）证明：∵CB=CA，DB=DA，

∴CD垂直平分线段AB，

∴CD⊥AB，

故答案为CD⊥AB.

（2）①证明：∵AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB，

又∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

又∵在△ADC和△BDC中，

，

∴△ADC≌△BDC（SSS），

∴∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠DBA=∠DAB=30°，

∴∠BDE=30°+30°=60°，

∵∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=∠ACD+∠CAD=45°+15°=60°，

∵∠CDE=∠BDE=60°，

∴DE平分∠BDC；

故答案为DE平分∠BDC.

②结论：ME=BD，

理由：连接MC，

∵DC=DM，∠CDE=60°，

∴△MCD为等边三角形，

∴CM=CD，∠CMD=60°，

又∵EC=CA，∠CAD=15°，

∴∠ECM=∠CMD-∠CAD=45°,

在△BDC和△EMC中，

，

∴△BDC≌△EMC（SAS），

∴ME=BD，

故答案为ME=BD.

③当EN=EC时，∠ENC=7.5°或82.5°；

当EN=CN时，∠ENC=150°；

当CE=CN时，∠CNE=15°，

故答案为∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．

【点睛】本题考查了中垂线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定、外角的性质运用及动点问题.（1）熟悉垂直平分线的判定定理是解题关键.（2）灵活运用等腰三角形的性质与外角的性质是解题关键.如果不确定等腰三角形的腰与底边（顶角与底角）的情况下，要注意分类讨论.