专题12.9 角平分线的性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.9  角平分线的性质（知识讲解）

【知识回顾】

1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

3、线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题.

3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质

　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：∵DC平分∠ADB ,

又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F，

∴PE=PF

特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件

要点二、角的平分线的判定

　 角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F，

又∵PE=PF

∴DC平分∠ADB ,

即点P在∠ADB的平分线上。

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图
 

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）作射线OC.

∴射线OC即为所求.

要点四、三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心，

三角形内心到这个三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质

1．如图，在中，是的角平分线，，，D是的中点，证明：．

【点拨】首先根据角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），即可得证∠B=∠C．

证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°

∵D是的中点，

∴

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

∴∠B=∠C．

【点拨】此题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质和利用HL证两个三角形全等是解题关键．

2．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（  ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【点拨】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线上的点到角两边距离相等证明CD=DE，再根据三角形面积公式即可求得DE的长度，从而解决问题．

解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
∵S△ABD＝AB•DE＝15，且AB=10，
∴DE=3，即CD=DE=3．
故答案为3．

【点拨】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等，解题的关键是正确作出辅助线．

举一反三：

【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD=3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．2．5 D．3

【答案】B

【点拨】根据点到直线的距离垂线段最短可知，当DQ与AB垂直的时候最短，再结合角平分线的性质即可求解．

【详解】当时，DQ最小，

根据角平分线的性质可知，此时DC=DQ，则DQ=2，

故选：B．

【点拨】本题考查点到直线的距离及角平分线的性质，熟练掌握基本性质和定理是解题关键．

3、已知中，，边上的垂直平分线交于，为垂足．

（1）若，，求的周长；

（2）若平分，求的度数．

【点拨】

（1）由线段的垂直平分线性质，解得，结合等腰三角形中解题即可；

（2）设，由等腰三角形的性质，解得，再由角平分线的性质得到，结合垂直平分线的性质解题即可．

解：（1）垂直平分

又

的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=BC+AB=5+7=12;

（2）设

平分

垂直平分

解得

【点拨】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式】 已知ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．求证：OD=OE=OF．

解：连接BO、CO、AO，

∵BO是的角平分线，且OD⊥BC，OF⊥AB，

∴，

同理可得，，

∴．

【点拨】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．

类型二、角的平分线的判定

4．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

【解析】

首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF•DM＝DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．

证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，

△DBF的面积为：BF•DM，

△DCE的面积为：DN•CE，

∵△DCE和△DBF的面积相等，

∴BF•DM＝DN•CE，

∵CE＝BF，

∴DM＝DN，

又∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．

【点拨】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.

举一反三：

【变式】已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E，F为垂足，且DE=DF，点G是BC上的一点，且BG=DG．

求证：AB∥DG．

证明：连结BD，

∵DE⊥AB，DF⊥BC，E，F为垂足，且DE=DF，

∴BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵BG=DG，

∴∠CBD=∠BDG，

∴∠ABD=∠BDG，

∴AB∥DG．

【点拨】本题考查角平分线的性质与等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质与等腰三角形的性质是解题关键．

类型三、角的平分线的作图题

5．北师版初中数学教科书八年级上册第57页告诉了我们利用尺规作一个角的角平分线的方法：已知：如图，钝角．

求作：的角平分线．

作法：①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点D，交OB于点E；

②分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C；

③作射线OC．

所以射线OC就是所求作的角平分线．

（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）

（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：

由①可得：；

由②可得：______；

由③可知：；

∴____________（依据_____）．

∴可得（全等三角形对应角相等）

即OC就是所求作的的角平分线．

（3）如图2，点O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正沿着BO向洞口逃窜．若猫以与老鼠相同的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置M．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【分析】

（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）利用作法得到OD＝OE，CD＝CE，加上OC＝OC，则可根据“SSS”判断OCD≌OCE，于是得到∠COD＝∠COE．

（3）连接AB．做AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为M，因为速度一样，所以AM的距离等于BM的距离，所以三角形AMB为等腰三角形．因此，AB的垂直平分线必经过M点．

解：（1）如图，OC为所作；

（2）由①可得：OD＝OE；

由②可得：CD＝CE；

由③可知：OC＝OC；

∴OCD≌OCE（SSS），

∴∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．

即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．

故答案为：CD＝CE；OCD，OCE，SSS；

（3）连接AB．作AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为M，

因为速度一样，所以AM的距离等于BM的距离，所以三角形AMB为等腰三角形．

因此，AB的垂直平分线必经过M点．

【点拨】本题为三角形综合题，主要考查了角平行线、三角形全等和中垂线的性质以及基本作图，解题的关键是画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

【变式】如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论）

【分析】分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线，两条线的交点即为所求．

【解答】如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等，

再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等，

此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P．

【点拨】本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用，理解它们的性质是解题关键．