高中数学人教版新课标A必修23.3 直线的交点坐标与距离公式教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

复习数轴上两点的距离公式.

设问一：

同学们能否用以前所学知识解决以下问题：

已知两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)求|P1P2|

设置情境导入新课

概念形成

过P1、P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为N1 (0，y)，M2 (x2，0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.

在直角△ABC中，|P1P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2，为了计算其长度，过点P1向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，0)过点P2向y轴作垂线，垂足为N2 (0，y2)，于是有|P1Q|2 = |M2M1|2 = |x2 – x1|2，

|QP2|2 = |N1N2|2 = |y2 – y1|2.

由此得到两点间的距离公式

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.

通过提问思考教师引导，使学生体会两点间距离公式形成的过程.

应用举例

例1 已知点A (–1，2)，在x轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.

解：设所求点P (x，0)，于是有

∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11

解得x = 1

∴所求点P (1，0)且

同步练习，书本112页第1、2题.

教师讲解思路，学生上台板书.

教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出

解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为

线段AB的垂直平分线的方程是

在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.

所以所求点P的坐标为(1，0).因此

    通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.

证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).

设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，

|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2

|AC|2 = (a + b)2 + c2，

|BD|2 = (b – a)2 + c2

所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 =

2 (a2 + b2 + c2)

|AC|2 – |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，

|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.

第二步：进行有关代数运算.

第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.

思考：同学们是否还有其它的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题.

让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.

归纳总结

主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.

师生共同总结

让学生更进一步体会知识形成过程

课后作业

布置作业

见习案3.3的第二课时.

由学生独立完成

巩固深化