《随机抽样》文字素材7（新人教A版必修3）练习题

必修3 统计  随机抽样 教材解读

课标要求

⒈理解随机抽样的必要性和重要性．

⒉学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．

重点难点聚焦

重点：1.能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题．

2.理解随机抽样的必要性和重要性.

3.学会简单随机抽样方法,了解分层和系统抽样方法.

4.对随机性样本的随机性的正确理解.

难点：1.对样本随机性的理解.

2.三种抽样方法的步骤.

高考分析及预策

　　本节是高考必考内容,主要用于考查学生的数据处理能力.考试大纲中在关于能力的要求中指出:数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。高考中常结合应用问题考查学生构造抽样模型、识别模型、收集数据等研究性学习的能力，命题形式大都为选择题或填空题。

题组设计

再现型题组

1.(2007全国卷Ⅱ)一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率是_______。

2.某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

3.某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,…,295，为了了解学生的学习情况，要按1:5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。

4.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应该抽取_______辆，_______辆，_______辆。

巩固型题组

5．一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，并写出过程。

6.(2005年湖北)某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2,…,270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270

关于上述样本的下列结论中，正确的是

A.②③都不能为系统抽样      B.②④都不能为分层抽样

C.①④都可能为系统抽样      D.①③都可能为分层抽样

提高型题组

7．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出了5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多_____人。

8.(2006年高考湖北卷)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。

(1)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

(2)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

反馈型题组

9.(2007浙江)某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为__________。

10.要从已经编号(1～60)的60枚最新研制的某种导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（　　）

A.5,10,15,20,25,30         B.3,13,23,33,43,53

C.1,2,3,4,5,6              D.2,4,8,16,32,48

11.从2008名学生中选取50人参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（　　）

A.不全相等　　　　　　　　　B.均不相等

C.都相等，且为　        D.都相等，且为

12．(2008天津文)一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工_______­­­人。

13.用系统抽样法从160名学生中抽以容量为20的样本，将160名学生随机地从1～60编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是_______。

                                          作者：郭亮

§13.1  随机抽样（解答部分）

再现型题组                                  

1.【提示或答案】每个个体被抽取的概率均为，故答案为

【基础知识聚焦】当从一个容量为Ｎ的总体中，抽取一个容量为n的样本时，每个个体被抽到的概率均为。

2.【提示或答案】方法一（抽签法）将100件轴编号为1,2,…,100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，与这10个号签号码相同的轴的直径即为所为抽取的样本。

    方法二（随机数表法）将100件轴编号为00,01,…,99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68,34,30,13,70,55,74,77,40,44，这10个号码对应的轴的直径即为所要抽取的样本。

【基础知识聚焦】（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：①制签是否方便；②号签是否容易被搅匀。一般地，当总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法。

（2）随机数表法的步骤：①将总体的个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③读数获取样本号码。随机数表法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体容量较大时制签难的问题，但是当需要的样本容量很大时，用随机数表法抽取样本仍不方便。

3.【提示或答案】按1:5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把295名同学分成59组，每组5人。

第1组是编号为1～5的学生，第2组是编号为6～10的学生，依次下去，第59组是编号为291～295的学生。

采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为m(1≤m≤5)，那么抽取的学生编号为m+5k(k=0,1,2,…,58)，得到59个个体作为样本，如当m=3时，样本编号为3,8,13,…,288,293.

【基础知识聚焦】在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤是：①采用随机抽样的方法将总体中个体编号；②将整体编号进行分段，确定分段间隔m，在确定分段间隔m时应注意：分段间隔m为整数，当不是整数时，应采用等可能剔除的方法剔除部分个体，以获得整数间隔m；③在第1段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号k;④按照事先预定的规则抽取样本。

4.【提示或答案】首先确定抽样比例，然后根据各层份数确定各层要抽取的份数。

故这三种型号的轿车依次应该抽取6辆、30辆、10辆进行检验。

【基础知识聚焦】分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；③在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行；④在确定每层中抽取的份数时，要首先确定抽样比例，然后根据每层份数确定各层要抽取的份数。

巩固型题组

5.解法一：三部分所含个体数之比为112：16：32=7：1：2，设三部分各抽取个体数为7x,x,2x，则由7x+x+2x=20得x=2。故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取的个体数分别为14，2和4。

对112名业务人员按系统抽样分成14个部分，其中每个部分包含8个个体，对每个部分利用简单随机抽样抽取个体。若将112名业务人员依次编号为1，2，3，…，112。管理人员的编号为113，114，…，128。后勤人员的编号为129，130，…，160。那么在1～112名业务人员中第一部分的个体编号为1～8。从中随机抽取一个号码，如它是4号，那么可以从第4号起，按系统抽样法每隔8个抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4，12，20，28，36，44，52，60，68，76，84，92，100，108。同样可抽出的管理人员和后勤服务人员的号码分别为116，124和132，140，148，156。

将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本。

解法二：分层抽样中的抽样比为，由可得，业务人员、管理人员、后勤人员应分别抽取14人、2人、4人。以下同解法一。

点评：分层抽样的步骤是：①②④③分层；②④③按比例确定每层应抽取个体的个数；④③各层抽样（方法可以不同）；④汇合成样本。本题要抓住“分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配”这一分层抽样的特点，首先确定各层应抽取的个体数，之后分别采用系统抽样和简单随机抽样完成抽样过程。解决些类问题的关键在于对概念的正确理解以及在每一次抽样的步骤中所采用的抽样方法，应注意语言叙述的完整性。

变式与拓展：(2007陕西)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类和果蔬类分别，40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（　　）

A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7

    答案：C

6.解：根据三种抽样方法的特征，如果是分层抽样，则各号段应占的比例为4：3：3，①②③均合适；如果是系统抽样，则抽取的样本号码应该构成公差为27的等差数列，其中①③的首项分别为7和11，适合，④的首项为30，不适合。对所给 四个选项判断知，应选D。

点评：本题主要考查统计中的抽样方法的有关知识。解答此题，必须明确三种抽样方法的特征、区别和联系，结合具体案例分析判断。分层抽样时要按抽样比确定每层应抽取个体的个数；系统抽样是分段抽样，故抽得的编号是等差数列，首项应该在第一段，公差是每段中个体的数量。

变式与拓展1：问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，　黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出成3名参加座谈会。方法：1.简单随机抽样；2.系统抽样；3.分层抽样法。其中问题与方法能配对的是：

A.①1,②2  　　B.①3,②1  　　C.①2,②3  　　　D.①3,②2

答案：B

变式与拓展2：（2008重庆）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查。这种抽样方法是（     ）

A.简单随机抽样    B.抽签法    C.随机数表法    D.分层抽样法

答案：D

提高型题组

7．解：设全班共有x人，则，解得x=54。“喜欢”摄影的人数为人，比全班人数的一半多人。

点评：利用分层抽样的结果可确定每层人数占总体人数的比例，根据已知条件列出方程求出全班的总人数，进而求出答案。

变式与拓展：（2008湖南）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_______人。

答案：60人。

8．解：（1）设登山组人数为x，则总人数为4x，游泳组人数为3x.在游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c,则有，解得b=50%,c=10%.

    故a=100%-50%-10%=40%，即在游泳组中，青年人、中年人、老年人所占的比例分别为40%、50%、10%。

（2）在游泳组中，抽取的青年人人数为人；抽取的中年人人数为人；抽取的老年人人数为人。

点评：分层抽样中，所有层中每个个体被抽到的可能性相同，本题最关键是确定游泳组中青年人、中年人、老年人的比例，再按照比例确定样本中青年人、中年人、老年人的人数。

课堂小结

1、三种抽样方法的比较

2、三种抽样方法的步骤

3、三种抽样方法都是等概率抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性。

反馈型题组

9．答案：50人。

提示：先确定抽样比，再求出高三学生的人数。

10．答案：B

提示：系统抽样选取的编号是等差数列，公差为10.

11．答案：C

提示：系统抽样中每个个体被抽到的可能性都相等，入样的概率均为。

12．答案：10

提示：抽样比为，故应抽取人。

13．答案：6.

提示：设第一组号码是x，则126=x+15×8。