高中数学人教版新课标B选修2-13.1 空间向量及其运算教学演示课件ppt

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-13.1 空间向量及其运算教学演示课件ppt

3．2　空间向量在立体几何中的应用1．知识与技能理解直线的方向向量．掌握空间直线的向量参数方程及线段的向量公式．能够确定直线上点的位置．能够用向量语言证明线线、线面、面面的平行关系．2．过程与方法用向量的观点研究直线和直线与直线的位置关系．3．情感态度与价值观让学生体会代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与相互转让的．重点：理解直线的向量参数方程及向量中点公式．难点：利用向量证明平行垂直问题．1．直线的方向向量是一个很重要的概念，由定点A和方向向量a不仅可以确定直线l的位置，还可具体表示出l上的任意点；还可确定直线平行的条件，计算两条直线所成的角等．2．判定直线平行或垂直：v1∥l，v2∥m，l∥m⇔v1∥v2；l⊥m⇔v1⊥v2.5．设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔______________________________.[答案]　1.直线l的参数方程(t为参数)3．v1∥v24．v∥v1(或v∥v2)或存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv25．v1⊥v2，cosθ＝cos[例1]　设a，b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1、l2的位置关系．(1)a＝(2，－1，－2)，b＝(6，－3，－6)；(2)a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)；(3)a＝(0,0,1)，b＝(0,0，－3)．[分析]　设l1、l2的方向向量分别为a，b，则l1∥l2⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b，由此判断．[解析]　(1)显然有b＝3a，即a∥b，∴l1∥l2(或l1与l2重合)．(2)观察知a≠b，又a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(3)显然b＝－3a，即a∥b，故l1∥l2(或l1与l2重合)．[说明]　首先根据a，b的坐标，对a，b的关系(平行、垂直或其他情况)作出初步判断，然后再用有关知识给予验证，从而得到相关结论．直线的方向向量在研究线线、线面位置关系，求角或距离等有关问题时要用到，希望注意．　l，m是两条直线，方向向量分别是a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则 (　　)A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2[答案]　D[解析]　由向量平行的充要条件可得.[例2]　在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.[证明]　方法一　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)∵|AP|＝2|PA1|，在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.[解析]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz.[例3]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AM＝DN.求证：MN∥平面BCE.[例4]　正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AC的中点．证明：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.如图所示，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点．求证：EF⊥CF.[解析]　建立如图的空间直角坐标系D—xyz.[例5]　如图，已知F是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求异面直线A1C1与DF所成角的余弦值．[说明]　求两条异面直线所成角常用的方法有两种：(1)向量法：即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线的夹角．(2)定义法(平移法)：由两条异面直线所成角定义将求两条异面直线所成角的大小转化为平面角求解．求解的方法是解三角形．在本例给出的正方体中，E为棱AA1的中点，求异面直线BE与AC所成角的大小．[分析]　利用线面平行满足的条件，转化为向量运算求待定量．方法二：如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系．[说明]　运用空间向量将几何推理转化为向量运算时，应注意处理和把握以下两大关系：一是一些几何题能用纯几何法和向量法解决，体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透，选哪种方法，多多体验；二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择，根据题目中所给的空间体选择合适的解题途径．如正方体、长方体、直棱柱等往往通过建系用坐标方法解决更为方便．[例7]　已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形∠ABC＝60°，AB＝2PA，E是线段BC中点．(1)判断PE与AD关系；(2)在线段PD上是否存在一点F，使得CF∥平面PAE，，并给出证明．[误解]　(1)取A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设PA＝1，则P(0,0,1)，B(2,0,0)，O(0,2,0)，C(2,2,0)，E(2,1,0)，[辨析]　首先应建立适当的空间直角坐标系，其次用向量表示形式验证求解．[正解]　∵四边形ABCD是∠ABC＝60°的菱形，E为边BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AD，以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB＝2，A．(－1,3，－3)　　　　　 B．(9,1,1)C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)[答案]　B[答案]　BA．λ＝28 B．λ＝－28C．λ＝14 D．λ＝－14[答案]　D二、填空题4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝____.[解析]　代入夹角公式，求得．