数学必修31.3 算法与案例教案及反思

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〔教案〕 1.3 算法案例――－秦九韶算法 教学目标：在学习中国古代数学中的算法案例的同时，进一步体会算法的特点。体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。教学重点和难点重点：理解秦九韶算法的思想。难点：用循环结构表示算法的步骤。教学基本流程设计算法，求具体多项式的值改进算法，提高运算效率介绍秦九韶算法，求一般多项式的值用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结教学情景设计一、新课引入在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中心。中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。二、问题设计问题问题设计意图师生互动（1）设计求多项式当x=5时的值的算法，并写出程序。使学生在自己操作的过程中进一步认识问题本身及其算法。S提出一般的解决方案，如：x=5PRINT“f＝”；fENDT点评：上述算法一共做了15次乘法运算，5次加法运算。优点是简单、易懂，缺点是不通用，不能解决任意多项式求值问题，而且计算效率不高。(2)有没有更高效的算法？帮助学生建立改进算法、提高计算效率得意识。T：计算x的幂时，可以用前面的计算结果，以减少计算量，即现计算，然后依次计算的值。这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法？S：9次乘法运算，5次加法运算。T：第二种做法和第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率。而且对于计算机来说，做一次乘法运算所需的时间比做一次加法运算需要的时间要长得多，因此第二种算法能更快的得到结果。（3）能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？进一步探索具有一般意义的算法。T引导学生把多项式变形为：并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？S：共五个一次式，x的系数依次是：（4）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？引导学生发现规律，归纳总结。原多项式x的系数2－5－43－67运算10251055402670＋变形后x的“系数”252110853426775最后得系数2677即为所求的值。让学生描述上述计算过。S：将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。T：这种算法即是“秦九韶算法”，同时介绍秦九韶的生平。（5）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？引导学生分析秦九韶算法的特点。教是引导学生发现在求值过程中，计算只与多项式的系数有关，让学生统计所进行得乘法和加法运算次数。S：共做了5次乘法运算，5次加法运算。（6）秦九韶算法适用于一般的多项式的求值问题吗？说明秦九韶算法的通用性。T：怎样用秦九韶算法求一般的多项式的值？S:先将多项式变形为然后由内向外逐层计算一次多项式的值。T引导S思考：把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求：的值的过程，共做了多少次乘法运算，多少次加法运算？S:n次乘法运算，n次加法运算。（7）怎样用程序框图表示秦九韶算法？引导学生认识秦九韶算法中的循环过程，并用算法的循环结构来表示这个过程。T:观察秦九韶算法的数学模型，计算时要用到的值，若令，我们可以得到下面的递推公式：这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。S:画出程序框图。（8）小结：通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步认识？进一步体会算法的特点。T引导S思考、讨论、概括。小结时要关注以下几点：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效的表达各种算法；等。（9）课后作业：习题1.3A组第2题