2021学年1.3 算法与案例达标测试

必修3   1.3  算法案例

1. （1）将101111011（2）转化为十进制的数； （2）将53（8）转化为二进制的数.

2. 用冒泡排序法将下列各数排成一列：8，6，3，18，21，67，54.

并写出各趟的最后结果及各趟完成交换的次数.

3. 用秦九韶算法写出求f（x）=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5

在x=－0.2时的值的过程.

4. 我国《算经十书》之一《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？答曰：二十三.”你

能用程序解决这个问题吗？

5. 我国古代数学家张邱建编《张邱建算经》中记有有趣的数学问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”你能用程序解决这个问题吗？

6. 写出用二分法求方程x3－x－1=0在区间［1，1.5］上的一个解的算法（误差不超过0.001），并画出相应的程序框图及程序.

参考答案

1. 解：（1）101111011（2）=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379.

（2）53（8）=5×81+3=43.

∴53（8）=101011（2）.

2. 每一趟都从头开始，两个两个地比较，若前者小，则两数位置不变；否则，调整这两个数的位置.

解：第一趟的结果是：

6  3  8  18  21  54  67

完成3次交换.

第二趟的结果是：

3  6  8  18  21  54  67

完成1次交换.

第三趟交换次数为0，说明已排好次序，

即3  6  8  18  21  54  67.

3. 先把函数整理成

f（x）=（（（（0.00833x+0.04167）x+0.16667）x+0.5）x+1）x+1，按照从内向外的顺序依次进行.

x=－0.2

a5=0.00833  V0=a5=0.008333

a4=0.04167  V1=V0x+a4=0.04

a3=0.016667  V2=V1x+a3=0.15867

a2=0.5  V3=V2x+a2=0.46827

a1=1  V4=V3x+a1=0.90635

a0=1  V5=V4x+a0=0.81873

∴f（－0.2）=0.81873.

4. 设物共m个，被3，5，7除所得的商分别为x、y、z，则这个问题相当于求不定方程

    的正整数解.

m应同时满足下列三个条件：（1）m MOD 3=2；（2）m MOD 5=3；

（3）m MOD 7=2.因此，可以让m从2开始检验，若3个条件中有任何一个不成立，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止.

程序：m=2

f=0

WHILE  f=0

IF  m MOD 3=2  AND  m MOD 5=3

AND  m MOD 7=2    THEN

PRINT  “物体的个数为：”；m

f=1

ELSE

m=m+1

END  IF

WEND

END

5.设鸡翁、母、雏各x、y、z只，则

由②，得z=100－x－y，                             ③

③代入①，得5x+3y+=100，

7x+4y=100.                            ④

求方程④的解，可由程序解之.

程序：x=1

y=1

WHILE  x＜=14

WHILE  y＜=25

IF  7*x+4*y=100    THEN

z=100－x－y

PRINT  “鸡翁、母、雏的个数别为：”；x，y，z

END  IF

y=y+1

WEND

x=x+1

y=1

WEND

END

（法二）实际上，该题可以不对方程组进行化简，通过设置多重循环的方式得以实现.由①、②可得x最大值为20，y最大值为33，z最大值为100，且z为3的倍数.程序如下：

x=1

y=1

z=3

WHILE  x＜=20

WHILE  y＜=33

WHILE  z＜=100

IF  5*x+3*y+z/3=100  AND

x+y+z=100  THEN

PRINT  “鸡翁、母、雏的个数分别为：”；x、y、z

END    IF

z=z+3

WEND

                   y=y+1

                   z=3

WEND

                   x=x+1

                   y=1

WEND

END

6. 用二分法求方程的近似值一般取区间［a，b］具有以下特征：

f（a）＜0，f（b）＞0. 由于f（1）=13－1－1=－1＜0，

f（1.5）=1.53－1.5－1=0.875＞0，

所以取［1，1.5］中点=1.25研究，以下同求x2－2=0的根的方法.

相应的程序框图是：

程序：a=1

b=1.5

c=0.001

DO

x=（a+b）/2

f（a）=a∧3－a－1

f（x）=x∧3－x－1

IF  f（x）=0  THEN

PRINT  “x=”；x

ELSE

IF  f（a）*f（x）＜0  THEN

b=x

ELSE

a=x

END  IF

END  IF

LOOP  UNTIL  ABS（a－b）＜=c

PRINT  “方程的一个近似解x=”；x

END