数学第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案配套课件ppt

这是一份数学第二章 数列2.5 等比数列的前n项和教案配套课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了自学导引，名师点睛，变式1，变式3等内容，欢迎下载使用。

等比数列的前n项和公式
：尝试用其他方法证明等比数列的前n项和公式．提示：等比数列前n项和，也可以用以下几种方法，令首项为a1，公比为q(q≠1)．1．乘法运算公式法∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1)
2．方程法∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，∴(1－q)Sn＝a1－a1qn.
等比数列前n项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
等比数列前n项和性质(1)在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列．(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列{an}为等比数列．
题型一　等比数列前n项和公式的基本运算
在等比数列{an}中，(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；(3)若q＝2，S4＝1，求S8.[思路探索] 根据等比数列的前n项和公式，结合通项公式，列方程或方程组求解．
(1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1和q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．(2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.解　若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1.但S3＋S6≠2S9，∴q≠1.
一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．
题型二　等比数列前n项和性质的应用
法二　设项数为n.∵等比数列的项数为偶数，Sn＝S奇＋S偶，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋an－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝a1q＋a3q＋a5q＋…＋an－1q＝q(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＝q·S奇，∴85q＝170，∴q＝2，
　　　　 本题法二利用了等比数列的“子数列”性质，若等比数列的项的序号成等差数列，则对应项依次成等比数列．另外，两个等式之间的除法运算体现了“整体消元”的思想．
【变式2】 等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.
＝7×(1＋3)＝28.∴S4＝28.法二　∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.
　　借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 　法一　设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
题型三　等比数列前n项和的实际应用
故每月应支付1 739元．法二　一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
【题后反思】 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
　　　从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入
　　若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．　　已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.[思路分析] (1)根据题意列方程组即可求得首项和公差，则通项公式可得；(2)列出{bn}的通项bn，观察通项的特点，采用恰当的方法求和．
方法技巧　错位相减法求数列的和
解得a1＝3，d＝－1.故an＝3＋(n－1)(－1)＝4－n.(2)由(1)，可得bn＝n·qn－1，于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋(n－1)·qn－2＋n·qn－1.①若q≠1，将上式两边同乘以q，得：qSn＝1·q1＋2·q2＋3·q3＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.将上面两式相减得：
方法点评 在写出“Sn”与“qSn”的表达式后，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“qSn－Sn”的表达式．