人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）教案及反思

4.5.2用二分法求方程的近似解

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)

一、教学目标

1.探索用二分法求方程近似解的思路.

2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.

3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.

二、教学重难点

重点：利用二分法求方程的近似解；

难点：利用二分法求方程的近似解．

三、教学过程

1.二分法的形成

1.1创设情境，引发思考

【实际情境】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.

如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.

每查一次，可以把待查的线段缩减一半.

问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？

【预设的答案】取中间、减半等。

问题2：如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？

【预设的答案】 6

【设计意图】通过实例让学生初步接触二分法，了解二分法的一般步骤，让学生感知“生活处处是数学”。

1.2探究典例，形成概念

活动：能否求出方程lnx＋2x－6=0的近似解？

【活动预设】让学生自由发言，教师不做判断。引导学生进一步观察，研探。

【设计意图】为引入二分法及一般步骤做铺垫.

一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；

再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2. 75)f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；

由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=lnx＋2x－6零点的近似值，也就是方程lnx＋2x－6=0近似值。

2、教师讲授

2.1二分法的概念

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2.2初步应用，理解概念

题型一: 二分法概念的理解

【例1】下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)

【答案】B

【训练】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)

A.4，4  　   　　　B.3，4

C.5，4  　　　   　D.4，3

【答案】D

【设计意图】

   理解二分法的适用条件，且不是所有零点都可以用二分法估计。

【归纳总结】

用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.

第二步，求区间(a，b)的中点c.

第三步，计算f(c)：

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．

题型二: 用二分法求方程的近似解

【例2】借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）

【设计意图】

   让学生规范应用二分法的步骤解决问题。

【训练】用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).

解：经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.

取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).

如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：

因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.

2.3.归纳小结

1、二分法的定义

2、给定精确度ε，用二分法求函数零点的近似值的步骤。

【设计意图】

（1）梳理本节课对于二分法的认知；

（2）进一步让学生熟悉二分法、掌握二分法的一般步骤 .

四、课外作业

1．已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（    ）

A． B． C． D．

2．下列函数中不能用二分法求零点的是（    ）

A． B．

C． D．

3．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

5．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．

6．在用二分法求函数f (x)的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为_____．

7．方程在上的近似解为___________(精确到0.01)

8．若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是__________．

答案：1．C     2．C     3．B      4．C

5．      6．0.7      7．      8．4