高中数学人教版新课标B必修13.3 幂函数教案设计

第28课时  幂函数

教学目标：

使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.

教学重点：

幂函数的定义和图象.

教学难点：

幂函数的图象.

教学过程：

Ⅰ.复习引入

幂函数的定义

Ⅱ.讲授新课

问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？

　　（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．

　　思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋），（2）（3）（4）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．

　　问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？

　　（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．

　　思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．

总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．

［例1］讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．

　　思路：函数y＝是幂函数．

　　（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．

　　（2）∵xR，∴x2≥0．∴ y≥0．

　　（3）f（－x）＝＝＝f（x），　　∴函数y＝是偶函数；

（4）∵n＝＞0，　　∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．

　　由于幂函数y＝是偶函数，

　　∴幂函数y＝在（－∞，0）上单调递减．

　　（5）其图象如右图所示．

［例2］比较下列各组中两个数的大小：

　　（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2），（－1.25）．

　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，

　　    ∵1.5＜1.7     ∴1.5＜1.7

　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．

　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，

　　∵（－1.2）＝1.2，（－1.25）＝1.25，又1.2＞1.25

　　∴（－1.2）＞（－1.25）

　　点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：

　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；

　　（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

　　（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

　　［例3］求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．

　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．

　　当t＝－1时，ymin＝3．

　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋∞）．

点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．

Ⅲ.课堂练习

课本P73 1，2

Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力.

Ⅴ.课后作业

课本P73 习题1，2，3，4