高一数学北师大版选修1-1 创新演练阶段质量检测第四章 阶段质量检测教案
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一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数y＝(x＋1)2(x－1)，则x＝－1是函数的( )
A．极大值点 B．极小值点
C．最小值点 D．最大值点
解析：∵y＝x3＋x2－x－1，
∴y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，
当x<－1时，y′>0.
当－1<x<时，y′<0.
∴x＝－1是函数的极大值点．
答案：A
2．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是( )
A. B.
C. D.和
解析：f′(x)＝4x－＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>.
∴f(x)的单调递增区间为.
答案：C
3．要做一个圆锥漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为( )
A. cm B．100 cm
C．20 cm D. cm
解析：设圆锥的高为h，底面圆的半径为R，
则R2＋h2＝l2，其中h为圆锥的高，l为母线长．
V＝πR2h＝π(l2－h2)h，V′＝π(400－3h2)．
令V′＝0，∴h＝.
当0<h<时V′>0，当h>时V′<0，
∴h＝是极大值点，也是最大值点．
答案：A
4．在曲线y＝x3＋x－2的切线中，与直线4x－y＝1平行的切线方程是( )
A．4x－y＝0
B．4x－y－4＝0
C．2x－y－2＝0
D．4x－y＝0或4x－y－4＝0
解析：y′＝3x2＋1，又y＝4x－1的斜率k＝4，则3x2＋1＝4⇒x＝1或x＝－1，过点A(1,0)和B(－1，－4)各有一条切线，经检验，A、B均不在4x－y＝1上，故有两条．
答案：D
5．一点沿直线运动，如果经过t s后与起点的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )
A．1 s末 B．0 s
C．4 s末 D．0,1,4 s末
解析：s′＝′－′＋(2t2)′＝t3－5t2＋4t＝0，
∴t＝0,1,4.
答案：D
6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值与最小值分别是( )
A．5，－15 B．5,4
C．－4，－15 D．5，－16
解析：y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2，
又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，
∴最大值、最小值分别是5、－15.
答案：A
7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
又f(x)在x＝－3处取得极值，
∴f′(－3)＝30－6a＝0.
得a＝5.
答案：D
8．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4(0<x<4)．
令S′＝x－2＝0，
则x＝2，且x<2时，S′<0,2<x<4时，S′>0.
所以x＝2时，S取最小值2.
答案：D
9．(2011·浙江高考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是( )
解析：∵[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f′(x)＋f(x)]ex，又x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，
∴f′(－1)＋f(－1)＝0，而选项D中f′(－1)>0，f(－1)>0，故D中图像不可能为y＝f(x)的图像．
答案：D
10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
解析：设毛利润为L(p)，
由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，
右侧L′(p)<0，
所以L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调减区间是(0,4)，则k的值是________．
解析：f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意0,4为f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x＝0的两个根，∴k＝.
答案：
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2＋2ax＋＝0，此方程应有两个不相等的实数根，所以Δ>0.
即4a2－12>0，
∴a2－3a＋2>0，∴a>2或a<1.
答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)
13．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______ cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．
解析：设底面边长为x cm,2x cm，
则高h＝＝.
∴表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·＝4x2＋(x>0)，
则S′＝8x－＝，令S′＝0，则x＝3.
当x>3时，S′>0；当x<3时，S′<0.
∴x＝3时S取极小值，即为最小值．则长为6，宽为3，高为4.
答案：6 3 4
14．已知函数f(x)＝2ln x＋(a＞0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x，
令g(x)＝2x2－2x2ln x，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0，得x＝e，0(舍去)，
且0＜x＜e时，g′(x)＞0，当x＞e时，g′(x)＜0，
∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1) 由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，
(2) 所以a＝9.
(2)因为Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
16．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值，求a，b，c的值；并求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由条件知
解得a＝，b＝，c＝.
(2)f(x)＝x3＋x2－2x＋，
f′(x)＝x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)．
列表如下：
x | －3 | (－3，－2) | －2 | (－2,1) | 1 | (1,3) | 3 |
f′(x) |
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
f(x) | ↗ | 6 | ↘ | ↗ |
由上表知，在区间[－3,3]上，当x＝3时，f(x)取最大值，x＝1时，f(x)取最小值.
17．(本小题满分12分)已知f(x)＝，x∈(0，＋∞)在(0,1)上是减少的，在[1，＋∞)上为增加的，且f(x)的最小值为3，求a、b的值．
解：∵f(x)在(0,1)上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，
∴f(x)在x＝1处取极小值，也是最小值，
∴f′(1)＝0，f(1)＝3.
而f′(x)＝(x＋＋a)′＝1－，
∴f′(1)＝1－b＝0，∴b＝1.
又f(1)＝1＋b＋a＝3，∴a＝1.
故a＝1，b＝1.
18．(本小题满分14分)已知某厂生产x件产品的成本为G＝25 000＋200x＋x2(元)，请问：
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：(1)设平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋x，
∴y′＝－25 000·＋，
令y′＝0，得x＝1 000(x＝－1 000舍去)．
又当0<x<1 000时，y′<0，当x>1 000时，y′>0，
∴当x＝1 000时，函数取得最小值．因此要使得平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)利润函数L＝500x－(25 000＋200x＋x2)，
∴L′＝300－x，令L′＝0，得x＝6 000.
当在x＝6 000附近左侧时，L′>0；
当在x＝6 000附近右侧时，L′<0.
故当在x＝6 000时，L取得极大值，也是最大值，
因此生产6 000件产品能使利润最大．
