高一数学北师大版选修2-2第二章 阶段质量检测教案

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知函数f(x)＝，则f′＝(　　)

A．－　　　　　　　　　 B．－

C．－8       D．－16

解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，

∴f′＝－2×－3＝－16.

答案：D

2．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为(　　)

A．－135°       B．45°

C．－45°       D．135°

解析：y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.

答案：D

3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是(　　)

A．在点x＝x0处的函数值

B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值

C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率

D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率

答案：C

4．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)＝(　　)

A．sin x       B．cos x

C．cos α＋sin x      D．2sin α＋cos x

解析：函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．

答案：A

5．下列求导运算正确的是(　　)

A.′＝1＋     B．(log2x)′＝

C．(3x)′＝3xlog3e     D．(x2cos x)′＝－2xsin x

解析：′＝1－，所以A不正确；(3x)′＝3xln 3，所以C不正确；(x2cos x)′＝2xcos x＋x2·(－sin x)，所以D不正确；(log2x)′＝，所以B正确．

答案：B

6．(2011·重庆高考)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)

A．y＝3x－1      B．y＝－3x＋5

C．y＝3x＋5      D．y＝2x

解析：依题意得，y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1.

答案：A

7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝(　　)

A.        B．2ln 3

C.       D.

解析：∵f′(x)＝，∴f′(3)＝.

答案：D

8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)

A．0        B． 2

C．1        D．－1

解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，

所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.

答案：A

9．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝(　　)

A．a        B．±a

C．－a       D．a2

解析：因为y′＝＝＝，所以x－a2＝0，解得x0＝±a.

答案：B

10．(2011·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为(　　)

A．(0，＋∞)      B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)      D．(－1,0)

解析：令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，

又x＞0，所以x＞2.

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)

11．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.

解析：∵f(x)＝log3(x－1)，

∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，

∴f′(2)＝.

答案：

12．已知0<x<，f(x)＝x2，g(x)＝，则f′(x)与g′(x)的大小关系是____________．

解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝.

由0<x<，知0<f′(x)<， g′(x)>1，

故f′(x)<g′(x)．

答案：f′(x)<g′(x)

13．已知物体的运动方程是s(t)＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则物体在时刻t＝4秒时的速度v＝________米/秒，加速度a＝________米/秒2.

解析：∵s′(t)＝2t－，

∴v(4)＝s′(4)＝2×4－＝，

∵v(t)＝2t－，∴v′(t)＝2＋，

∴a(4)＝v′(4)＝2＋＝.

答案：　

14．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．

解析：设切点坐标为(x0，ex0)，y′＝ex，

则切线斜率为ex0，切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，代入原点坐标(0,0)⇒x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e.

答案：(1，e)　e

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：

(1)y＝sin x＋；

(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；

(3)y＝x·e－x；

(4)y＝sin 2x.

解：(1)y′＝(sin x)′＋()′＝cos x－.

(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′

＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)

＝9x2－2x＋6.

(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′

＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.

(4)y′＝(sin 2x)′＝×2·cos 2x＝cos 2x.

16．(本小题满分12分)已知曲线y＝x3＋3x2＋6x－10上一点P，求过曲线上P点的所有切线中，斜率最小的切线方程．

解：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)＝3(x＋1)2＋3.

∴当x＝－1时，斜率最小为3，此时P的纵坐标为y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，

∴切点坐标为(－1，－14)．

∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，

即3x－y－11＝0.

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，求：

(1)f(x)的表达式；

(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．

解：(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)，于是有

f′(a)＝a2＋3f′(a)⇒f′(a)＝－，

∴f(x)＝x3－x，

又f(a)＝，即a3－a3＝⇒a＝－1，

f(x)＝x3－x；

(2)由(1)知切点为，

切线的斜率f′(a)＝－，

∴切线方程为y－＝－(x＋1)，

即3x＋6y－4＝0.

18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

当x＝2时，y＝，则f(2)＝.

又f′(x)＝a＋，

于是解得

故f(x)＝x－.

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，

由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x得y＝x＝2x0从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.