2012-2013高二北师大数学选修2-2：第三课时 3.2.1实际问题中导数的意义导学案教案

第三课时  3.2.1实际问题中导数的意义

学习目的：

1．理解用函数思想解决优化问题的基本思路；

⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题

学习重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．

学习难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．

学习过程：

一、复习引入：

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点

3.极大值与极小值统称为极值

4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值

5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值

6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值

二、范例：

例1 某机车拖运货物时对货物所做的功W（单位：J）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为：。

(1) 求t从1s变到3s 时，功W关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；

(2) 求在t=1s 和t=3s时,该机车每秒做的功。

分析：在处的导数为机车在时，每秒所做的功即功率。

变式：一辆加速行使的汽车，其速度关于时间的函数表达式为求，并解释它的实际意义。

例2在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

例3圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

例4已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

三、课堂练习：

1.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________.

2.函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为_______.

3.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.

4.使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____.

5.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大

四、小结 ：

⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．

⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．

⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单  

五、课后作业：

1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？

2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

第三课时  3.2.1实际问题中导数的意义答案

二、范例：

例1解：（1）t从1s变到3s 时，功W关于时间t 的平均变化率为：，其实际意义是：t从1s变到3s时间内机车对货物所做的功的平均值，即平均功率。

（2）根据导数的意义，在t=1s 和t=3s时，机车对货物每秒所做的功即瞬时功率分别为和，

，所以：，。

变式：答案：，实际意义是：t=1s时的瞬时加速度。

例2解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积

  ．

令    ＝0，解得  x=0（舍去），x=40，

并求得 V(40)=16 000

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

．（后面同解法一，略）

由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例3解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

S=2πRh+2πR2

由V=πR2h，得，则

S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2令 +4πR=0

解得，R=，从而h====2

即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：解：提示：S=2+h=

V(R)=R=

)=0 ．

例4解：收入，

利润

令，即，求得唯一的极值点 答：产量为84时，利润L最大

三、课堂练习：

答案：1. －15  2.  －  3.     4.a  b  5.R

五、课后作业：

1．解：（1）正方形边长为x,则V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0<x<)

V′=4(3x2－13x+10)(0<x<),V′=0得x=1  根据实际情况，小盒容积最大是存在的，

∴当x=1时，容积V取最大值为18.

2．解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b

∴AD=h+b, ∴S=     ①

∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b  ②

由①得b=h,代入②,∴l=

l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.

∴h=时，l取最小值，此时b=