2012-2013高二北师大数学选修2-2：第一节 归纳与类比 1.2 类比推理导学案教案

第一章 推理与证明1.2类比推理 学习目标 1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点； 2．掌握运用类比推理的一般步骤。会进行简单的类比推理。 3．了解归纳推理与类比推理的异同； 4． 理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确； 5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。提高归纳、类比联想的能力。 重难点剖析 重点：掌握类比推理的特点与步骤； 难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性； 学习过程 一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？ 二．数学活动 我们再看几个类似的推理实例。 例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。 问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积 ☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤： ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 例3如图，已知点是内任意一点，连结并延长交对边于，则（Ⅰ）类比猜想，对于空间四面体，存在什么类似的结论 （Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。 分析：平面中的三角形可与空间的四面体进行类比，三角形内一点对应于四面体内一点，三角形的三个顶点类比四面体的四个顶点，三角形的三边类比四面体的四个面，于是可类比得到相应的结论（Ⅱ）；而证明，（Ⅰ）可用面积法，那么证明（Ⅱ）可类比使用体积法。 注意：本题不仅用类比得到一个新的性质，而且证明方法上也运用了类比的方法。 变式练习1 若三角形内切圆半径为，三边长为，则三角形的面积；根据类比思想，若四面体内切球半径为，四个面的面积为，则四面体的体积 （试证明这两个结论）。 例4在等差数列中，若，则有等式： 。类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式 成立。 分析：等差数列中“与首末两项等距的两项和相等”，等比数列中“与首末两项等距的两项积相等”，由此联想到等差数列的两项和可与等比数列的两项积类比。 变式练习2 由三角形的边的不等关系容易得到不等式： 类比上述不等式，对于数有类似的不等式吗？若有写出来并对真假作出判断。 例5 我们知道，“过圆心为O的圆外一点P作它的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，则∠POA=∠POB。”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请写出其中一个： 。 点评：本题是平面几何中圆的性质与圆锥曲线性质的类比猜想，直觉思维与合情推理是科学结论获得的有效手段。解题的突破点在于弄清：过圆心为O的圆外一点P作它的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，则∠POA=∠POB的含义。 学后反思 1．类比推理的特点 ① 类比是从特殊到特殊的推理，是根据两类不同对象已具有的某些相似性质，而联想到它们在其他方面可能也有相似的性质，从而由一类对象的已知的某项性质，猜测出另一类对象也可能有此项相应的性质而得到一个明确的结论，类比结论有明显的猜想和创新的特性。所得的结论超越了前提所包容的范围； ② 类比所得的结论超越了前提所包容的范围，结论不一定真。 ③ 类比的前提是两类对象之间有可比性，所谓可比性是指：它们之间有可以清楚定义的某些共同特征。而且两类对象之间的相似性质越多，类比所得的性质的可靠性越大； 2．类比推理的一般步骤 ① 找出与自己所研究的对象具有可比性的一类对象（它们的相似性质越多越好）； ② 根据比较类对象的某项已知性质，猜测你所研究的对象也可能有类似的性质，从而得出一个相应的明确的结论（命题）； ③ 对所提出的命题进行检验。 3．类比推理的结论未必真，欲知真假需证明。 例 在平面上（都有正边形，而在空间对 （不是都有正面体。我们知道正多面体只有五种。 4．类比推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径：如：平面上的直线可以和空间的平面进行类比；向量与数可以类比；平面图形的面积与空间几何体的体积可以类比；等差数列与等比数列可以类比等等； 课堂练习 1．平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比可得，在空间有（ ） A．平行于同一直线的两直线平行；B．平行于同一直线的两平面平行； C．平行于同一平面的两直线平行；D．平行于同一平面的两平面平行。 2．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则分别为（ ） A．2005，2005；B．2006，2006；C．2005，2006；D．2006，2005。 3．在项数为（），公差为的等差数列中，偶数项和与奇数项和的差等于。类比可得：在项数为（），公比为的等比数列中， 。 4．在正三角形中，三角形内的任意一点到三边的距离和为定值，类比这个性质，在空间相应的结论是 ，此命题是 （填：真或假）。 5．由图（1）有面积关系：，则由图（2）有体积关系：＝ 。 6．设，类比课本中推导等差数列前项和公式的方法，求： 的值。 参考答案： 例3：结论（Ⅱ）：点是空间四面体内的任意一点，连结并延长分别交面于点，则有： 证明：设点到平面的距离分别为，则， 同理：；； 四式相加得： 变式练习1： 例4：结论： 变式练习2：有！真。 例5解析：①过抛物线x2=2py（p＞0）外一点P作抛物线的两条切线PA、PB（A、B为切点），若F为抛物线的焦点，则∠PFA=∠PFB。 ②过椭圆+=1（a＞b＞0）外一点P作椭圆的两条切线PA、PB（A、B为切点）若F为椭圆的一个焦点，则∠PFA=∠PFB。 ③过双曲线-=1（a＞0，b＞0）外（两支之间）一点P（P不在渐近线上）作双曲线的两条切线PA、PB（A、B为切点），若F为双曲线的一个焦点。⑴若A、B在同一支，则∠PFA=∠PFB。⑵若A、B在不同一支，则PF平分∠AFP的邻补角。 课堂练习 1、D； 2、D； 3、偶数项与奇数项的商为； 4、空间四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，真； 5、 6、因为 ，所以运用倒序相加法可求得和为： 圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心