2012-2013高二北师大数学选修2-2：第五课时 1.3反证法导学案教案
展开第五课时 1.3反证法
一、学习目标：
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；
了解反证法的思考过程与特点。
二、学习重点：了解反证法的思考过程与特点。
学习难点：正确理解、运用反证法。
三．学习方法：探析归纳，讲练结合
四、学习过程
（一）、复习：综合法与分析法
综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。
就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。
因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。
（二）、探究新课
1、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
2、例题探析
例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.
例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。
例3、求证：是无理数。
例4、已知，求证：中，至少有一个数大于25。
例5、求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。
例6、如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b。
（三）、课堂小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证法。
1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.
2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。
(四)、课堂练习
1、（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
（2）已知＝2，关于p＋q的取值范围的说法正确的是 （ ）
（A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2
2、 用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________.
3、如果为无理数，求证是无理数.
4.“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
第五课时 1.3反证法答案
例1证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。
因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则
，即是奇数。
所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.
例2证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。
设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，
如图所示，则。
这样的内角和
。
这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。
所以直线a与b不相交，即a与b平行。
例3证明： 不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，
设，且p，q互素，则。所以 。 ①
故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入①式，则有，即，
所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。
因此，假设不成立，即“是无理数”。
例4证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么
，
这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。
例5证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则
，于是
。
因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。
所以，1，2，不可能是一个等差数列中的三项。
例6证明：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。
由于直线a，b在同一平面β中，且直线a，b不平行。
故直线a，b相交，
设交点为A，A在直线b上，故A在平面α上。
所以，直线a与平面α相交于A。这与条件“直线a平行于平面α”矛盾。
因此，假设不成立，即“直线a平行于直线b”。
(四)、课堂练习
1.解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A）
2.解析：用反证法可得应填 或3.提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即. 由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数.
4.证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。
