2021学年7.7数列的极限导学案

课题:无穷等比数列各项的和（1）

课标要求:会求无穷等比数列各项的和。

教学目标：

1、            理解无穷等比数列各项和的含义，掌握无穷等比数列各项和的公式，会求无穷等比数列各项的和；

2、            会用无穷等比数列各项和解决相关问题；

3、            体会用极限的思想来解决无穷等比数列的求和问题，感悟用有限来刻画无限，深刻体会有限和无限的区别和联系；

4、            通过等比数列各项和的探究过程培养学生的探究意识以及提高数学的应用意识和能力。

教学重点:

1、            等比数列各项和的定义及公式的推导；

2、            等比数列各项和在一些简单的实际问题中的应用。

教学难点:正确理解无穷等比数列各项和的定义。

教学过程：

一、新课引入

1、 引例1:有理数运算:

2、 引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。(请用一个式子来表示求解的问题)

3、 点题：无穷等比数列各项和

二、概念形成

4、 温故:无穷等比数列

通项公式:

前n项和

5、 知新：无穷等比数列各项和

符号：

显然：1），不存在

2），，不存在

3），不存在

4），

6、 定义：我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即S=() 。

注：1、无穷等比数列前n项和与它的各项和S的区别与联系；

前n项之和是数列中有限个项的和,而无穷等比数列各项的和是数列中所有的项的和,它们之间有着本质的区别。

对有无穷多项的等比数列,我们是不可能把它们所有的项一一相加的,而是通过对它的前n项之和取极限运算而求得,是用有限的手段解决无限的问题。

2、求和前提：；公式表明它只求公比 的无穷等比数列各项的和.

3、            由无穷等比数列各项的和公式 可知,求一个无穷等比数列各项的和,只要求出数列的首项与公比即可解决问题。

三、应用举例

7、 应用1：例1：化下列循环小数为分数。

（1）              ；（2）             ；

         （3）            ；

    练习：计算（1）=            ；（2）=            ；

           （3）           ；（4）          。  

8、 应用2：

例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。(请用一个式子来表示求解的问题)

例3：在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点、，得矩形；取、DC中点、，得一小矩形；再取、中点，得一小矩形；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和。

例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发沿x轴向右前进1个单位到点，接着向上前进个单位到点，再向左前进个单位到点，再向下前进个单位到点；以后的前进方向按向右、向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为前一次距离的一半。这样无限继续下去，求该质点到达的极限位置。

9、 引导学生将质点的运动分成水平方向的位移和垂直方向上的位移，让学生明确只需分别确定两个方向上位移的极限位置，即可得到质点运动的极限位置为

四：小结：

今天我们共同探究，得出了那些结论？对于这些结论，我们需要注意些什么？回顾今天的学习过程，你有哪些收获？

引导学生体会：

1、实数的加法法则不适用于无穷多个实数求和。

2、无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的。

3、无穷等比数列各项和存在是有一定条件的。

无穷等比数列各项的和公式：S=()。

五、探讨： 两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把，就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自行车的车把之间，直到两辆自行车相遇为止.如果两辆自行车都以每小时10英里的速度匀速前进，鸟以每小时15英里的速度匀速飞行，那么，鸟总共飞行了多少英里？

六、作业布置：

补充练习: 已知无穷等比数列的各项之和是4, 求首项的取值范围