数学苏教版第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.2 函数模型及其应用教学设计

3.4.2　函数模型及其应用（3）

沭阳银河学校

教学目标：

1．学会通过数据拟合建立恰当的函数某型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测；

2．通过实例了解数据拟合的方法，进一步体会函数模型的广泛应用；

3．进一步培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.

教学重点：

了解数据的拟合，感悟函数的应用.

教学难点：

通过数据拟合建立恰当函数模型.

教学方法：

讲授法，尝试法．

教学过程：

一、情境问题

某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c（其中a，b，c为常数）．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？

二、学生活动

完成上述问题，并阅读课本第85页至第88页的内容，了解数据拟合的过程与方法．

三、数学建构

1．数据的拟合：数据拟合就是研究变量之间的关系，并给出近似的数学表达式的一种方式．

2．在处理数据拟合(预测或控制)问题时，通常需要以下几个步骤：

（1）根据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图；

（2）通过观察散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；

（3）根据所学知识，设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数

y＝kx＋b；对称型选二次函数y＝ax2＋bx＋c；单调型选指数型函数y＝abx＋c或反比例型函数y＝＋b．

（4）利用此函数解析式，根据条件对所给的问题进行预测和控制．

四、数学应用

例1　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度为T0，经过一定时间t后的温度是T ，则T－Ta＝(T0－Ta)，(0.5)t/h其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．

现有一杯用880C热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20min，那么降到35℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)．

例2　在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x+1)－f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台（xN*)的收入函数为R(x)＝3000x－20x2（单位：元），其成本函数为C(x)＝500x＋4000（单位：元），利润是收入与成本之差．

（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；

（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？

例3　（见情境问题）

五、巩固练习

1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如图所示：

根据图中各点，请你从下列函数中：（1）y＝ax2＋bx＋c；（2）y＝k·ax＋b；（3）

y＝；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进展情况？

2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本y与上市时间t的变化关系；

y＝at+b，y＝at2+bt+c，y＝abt，y＝alogbt

（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．

简答：

（1）由提供的数据描述西红柿的种植成本y与上市时间t之间的变化关系不可能是常函数，因此用y＝at+b，y＝abt，y＝alogbt中的任一个描述时都应有a不等于0，此时这三个函数均为单调函数，这与表中所给数据不符合，所以，选取二次函数y＝at2+bt+c进行描述.

（2）略．

六、要点归纳与方法小结

处理数据拟合(预测或控制)问题时的解题步骤.

七、作业

课本P104习题3.4（2）－4．