高中苏教版3.4.2 函数模型及其应用教案

  函数模型及其应用   

几类不同增长的函数模型

一、学习目标

（1）        使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识。

（2）        通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义。

（3）        体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。

二、学习重点与难点

重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义。

  难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。

三、教材分析：

1、  背景

（1） 圆的周长随着圆的半径的增大而增大：

L=2πR      (一次函数)

（2）圆的面积随着圆的半径的增大而增大：

S=πR2      (二次函数)

（3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两个分裂成4个……，一个这样的细

胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是       y = 2x   (指数 型函数)    。

2、例题

例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案呢？

投资方案选择原则：

投入资金相同，回报量多者为优

(1)   比较三种方案每天回报量

(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量

哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。

根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。

解：设第x天所得回报为y元，则            

方案一：每天回报40元；  

 y=40  (x∈N*)

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元；                                                                       y=10x (x∈N*)

方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。

          Y=0.4×2x-1(x)

从每天的回报量来看：

第1~4天，方案一最多：                                    

每5~8天，方案二最多：   

第9天以后，方案三最多；                     

 有人认为投资

1~4天选择方案一；

5~8天选择方案二；

9天以后选择方案三。

累积回报表

结论

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。

3．例题的启示：

解决实际问题的步骤：

（1）实际问题    

（2）读懂问题抽象概括

（3）数学问题

（4）演算推理

（5）数学问题的解

（6）还原说明

（7）实际问题的解

4．练习

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？

5．小结

（1）解决实际问题的步骤：

实际问题    读懂问题    将问题抽象化    数学模型     解决问题

（2）几种常见函数的增长情况：