苏教版必修13.4.2 函数模型及其应用教案

函数模型及其应用（1）

【本课重点】 ：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想

【预习导引】 ：

1、某 地 高 山 上 温 度 从 山 脚 起 每 升 高 100 米 降 低 0.7 ℃ 。已 知 山 顶 的 温 度是14.1℃，山 脚的 温 度 是26℃。则 此 山 高                        米。

2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，则生产台计算机的总成本C=

       ____________（万元），单位成本P=                  （万元），销售收入R=              （万元），利润L=             （万元），若要创利不低于100万元，则至少应生产这种计算机______(台)。

3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y万元与营运年数x(x)的函数关系式为y=-x2+12x-25,则每辆客车营运     年使其营运年平均利润最大。

【典例练讲】：

例1、          某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到终点需要16min，快车比

慢车晚发3min，且行使10min后到达终点站。试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？

例2、某地上年度电价为元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55—0.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量亿度与 (x-0.4)成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8。   

（1）求y与x之间的函数关系式。

（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？ [收益=用电量×（实际电价-成本价）]

例3、在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司

每月最多生产100台报警系统装置,生产台的收入函数为

（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差。

(1)求利润函数及边际利润函数；

(2)利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？

例4、经市场调查，某商品在过去100天内的销售和价格均为时间t（天）的函数，且销售量近似地满足g（t）=。前40天价格为，后60天价格为。试写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系，并求最大销售额。

【课后检测】：

1、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了一段时间，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程S（km）与行驶时间t(h)的函数图象的示意图，你认为正确的是                                                      （   ）

   （A）            （B）          （C）          （D）

 2、将进货单价为80元的商品400个，按90元每个售出能全部售出（未售出商品可以原价退货）。已知这种商品每个涨价一元，其销售量就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为                                                                    （   ）

A、每个110元      B、每个105元       C、每个100元       D、每个95元

3、某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km ,按1.8元/km收费。另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于                                         （   ）

A、5~7km          B、9~11km          C、7~9km            D、3~5km

4、假设某做广告的商品的销售收入R与广告费A之间的关系满足（为正常数），那么广告效应为，则当广告费A=______时，取得最大广告效应。

5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km,火车10分钟行驶13km后，以120km/h匀速行驶，试写出火车行驶路程S(km)与匀速行驶的时间t（h）之间的函数关系式，并求出火车离开北京2h内行驶的路程。

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6、  某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2+30=110元设购买商品得到的优惠率＝。试问

（1）购买一件标价为1000元的商品，优惠率是多少？

（2）对于标价在 [500，800]内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？

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7、电信局为了方便客户不同需要，设有两种优惠方案，这两种方案应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示实线部分（注：图中）试问：

（1）       若通话时间为2小时，按方案各付话费多少元？

（2）       方案从500分钟后，每分钟收费多少元？

（3）       通话时间在什么范围内，方案才会比方案优惠？

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函数模型及其应用（2）

【本课重点】：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握指、对数函数模型；体会数学建模的基本思想

【预习导引】：

1、已知某商品的价格为元，讲价10%后，又降价10%，销售量猛增，商品决定提价20%，提价后这种商品的价格是         

2、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为                                                   （   ）

A、2400元      B、900元     C、300元         D、3600元

3、某企业生产总值的月平均增长率为,则年平均增长率为                    （   ）

  A、      B、   C、    D、

4、某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知细菌的繁殖规律为，其中为常数，表示时间，表示细菌粒，则     ，经过5小时，一个细菌繁殖为      个。

【典例练讲】：

例1、某商人购货，进价已按原价扣去25％，他希望对货物订一个新价，以

便按新价让利20％销售后仍可获得售价25％的纯利，则此商人经营这种货

物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是_____________

例2、某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为，试解答下列问题：

（1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式。

（2）计算10年后该城市人口总数（精确到万人）

  （3）计算大约多少年后该城市人口将达到120万人（精确到1年）

例3、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是经过一定时间后的温度是,则，其中表示环境温度， 称为半衰期。现有一杯用热水冲的速容咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到时，需要多长时间？

例4、某 公 司 准 备 投 入 资 金100万 元 进 行 新 产 品 开 发 和 生 产，公 司 策 划 部 门 提 出 两 种 方案 供 公 司 决 策 层 选 择 。方 案 一 ：年 利 率 为 10% ，按 单 利 计 算 ，5年 后 收 回 本 金 和 利 息 ，方 案 二 ：年 利 率 为 9% ，按 每 年 复 利 一 次 计 算 ， 5 年 后 可 收 回 本 金 和 利 息 。 问 哪 一 种 投 资 方 案 更 有 利（ 即 最 终 获 得 的 利 润 大 ）？这 种 投 资 方 案 比 另 一 种 投 资 方 案 在 5 年 后 可 多 获 利 多 少 元 ？（ 结 果 精 确 到 0 . 01 万 元 ）

【课后检测】：

1、某城市地区的绿化面积平均每年 上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原有的绿化面积之比为y，则函数y=f（x）的图象大致形状为                          (    )

2、某人2004年7月1日到银行存入一年期款a元。若年利率为x,按复利计算,到2007年7月1日取回的款为                                                   (    )

A、元      B、元     C、元      D、元

3、某工厂产品前两年每年递增20%，经过引进先进的技术设备并实施科学管理，后两年产品成本每年递减20%。那么该企业产品成本现在与原来比较                  （   ）

A、不增不减      B、约增8%       C、约减5%      D、约减8%

4、某 纯 净 水 制 造 厂 在 净 化 水 的 过 程 中 ，每 增 加 一 次 过 滤 可 以 减少 水 中 杂 质 20% ，要 使水 中 杂 质 减 少 到 原 来 的 5% 以 下 ， 则 至 少 需 要 过 滤 的 次 数 为（参 考 数 据lg2=0.3 010 ，lg3 = 0.4771 ）                                                                                              （      ）

A、5            B、10          C、14           D、15

5、职工收入有工资性收入和其他收入两部分构成，2003年某地区职工均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004起的5年内，职工的工资性收入将以每年的增长率增长，其他收入每年增长160元，根据以上数据2008年该地区职工人均收入介于                                              （   ）

A、4200—4400元    B、4400—4600元     C、4600—4800元   D、4800—5000元

6、一种产品的产量原来是a件，在今后的m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，则年产量y随经过的年数x变化的函数关系式                         

7、某工厂第一季度某产品月生产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估城测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系。模拟函数可以选用二次函数或函数。已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？说明理由。

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（选做题）心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化。讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想状态，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（3）一道数学综合题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？如果不能讲解完，说明理由；如果能够讲解 ，说明老师应该在哪个时间段讲解。

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函数模型及其应用（3）

【本课重点】：能根据实际问题建立适当的数学模型，体会数学建模的基本思想

【预习导引】：

1、某产品的总成本M（万元）与产量x（台）之间有函数关系式，如果每台产品售价25万元，那么不亏本（即销售收入不少于总成本）时的最低产量x=            

2、扇形的周长为10cm，扇形的面积S是半径R的函数，则此函数的值域是     

3、某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重。最近三年测得沙漠增加值分别为０.2万公顷,0.4万公顷和0.76万公顷。则沙漠增加数公顷关于年数的函数关系可近似的认为是（   ）

A、    B、     C、     D、

4、行驶中的汽车由于惯性，刹车时要继续往前滑行一段距离，这段距离叫做刹车距离。在某条道路上，一辆汽车的刹车距离y（m）与汽车的行驶速度x（km/h）满足下列关系。现做了两次刹车实验，有关数据如图所示，其中，则n=___________

【典例练讲】：

例1、某工厂2000年生产某种产品2万件,计划从2001年开始,每年的产量比上一年增长20%.求: 从哪一年开始,该家工厂生产这种产品的年产量超过12万件?(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771)

例2、某房地产公司在荒地ABCDE上划出一块长方形地建立一栋公寓，问如何设计才能使公寓面积最大？并求出最大面积。（尺寸如图，单位：cm）

例3 、已知函数 f（x）的图象如图所示，试写出三个可能的解析式

例4、       某公司为了实现100万元利润的目标，准备制定一个刺激销售的部门销售方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，且奖金（万元）随销售金额（万元）的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的，现有三个奖励模型：，其中哪个模型能符合公司要求。

【课后检测】：

1、某种商品2001年提价25%,2002年要恢复原价,则应降价                     （   ）

A、30%            B、25%             C、20%              D、15%

2、下列函数的部分图象用来描述如图所示的曲线较合适的是                   （   ）

A、            B、 

   C、   D、

3、如图是某厂8年来某产品的产量C与时间t (年)的函数关系.则下面四种说法正确的是___________

（1）前三年中产量增长的速度越来越快;

（2）前三年中产量增长的速度越来越慢;

（3）第三年后该产品停止生产;

（4）第三年后，年产量保持不变;

 (5 )第三年后，年产量增长的速度保持

4、有一批材料拟建成200的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形。求：所围成矩形的面积的最大值。

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5、甲地有一批时令性很强的反季节蔬菜运往乙地销售，现有飞机、火车、汽车三种运输方式，现在只可以选择其中的一种运输方式，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：

若这批蔬菜在运输（包括装卸）过程的损耗为200元/小时，设甲、乙两地之间的距离x千米。请问用哪种方式，才能使运输时的总支出最少。

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6、我国是水资源比较匮乏的国家之一，各地采取价格调控的手段来达到节约用水的目的，某市用水的收费标准是“水费=基本费用+超额费用+损耗费用”。若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若每月的用水量超过最低限量am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过的部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费用不超过5元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：

（1）          根据上表求：a,b,c的值；（2）若用户四月份用水20立方米，则应该交水费多少？

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