湘教版必修24.4向量的分解与坐标表示课文配套课件ppt

4.5　向量的数量积

4.5.1　向量的数量积

双基达标  (限时20分钟)

1．下列命题中正确的是              (　　)．

A．|a·b|＝|a|·|b|

B．a·b≠b·a

C．(λa)·b≠a·(λb)

D．非零向量a与b的夹角余弦值为

解析　根据向量的数量积的定义可知选D.

答案　D

2．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为14，F与s的夹角为60°，则F做的功为                                                                                                                                    (　　)．

A．7    B．10    C．14    D．70

解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.

答案　D

3．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝       (　　)．

A．12     B．12     C．－12     D．－12

答案　C

4．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影值为________．

解析　|a|cos 〈a，b〉＝＝.

答案　

5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则·＝________．

解析　∵＝＝＋，＝－.

∴·＝(2＋)·(－)

＝(2·－2 2＋2－·)

＝(2×1×cos 120°－2×22＋1)＝－.

答案　－

6．已知|a|＝3，|b|＝4，两量的夹角θ＝60°，求(a＋2b)·(a－3b)．

解　(a＋2b)·(a－3b)＝a2－3a·b＋2a·b－6b2＝32－3·4cos 60°－6·42＝－93.

综合提高　限时25分钟

7．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于                                                                                                                               (　　)．

A．－     B．0     C.     D．3

解析　a·b＝·＝－·

＝－||||cos 60°＝－.

同理b·c＝－，c·a＝－，

∴a·b＋b·c＋c·a＝－.

答案　A

8．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于                                                                                                                       (　　)．

A．－    B．－    C.    D.

解析　如图，由题知，＋＝2，·(

＋)＝·2，∵||＝1，∴||＝，|

|＝，∴·(＋)＝·2＝－××2

＝－.

答案　A

9．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________．

解析　因为||2＋||2＝|CA|2，所以△ABC为直角三角形，其中∠B＝90°.

所以·＋·＋·＝0＋||||·cos(π－C)＋||||cos(π

－A)＝－4×5×－5×3×＝－25.

答案　－25

10．若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a×b”为“向量积”，其长度|a×b|＝|a||b|sin θ，若已知|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4，则|a×b|＝________．

解析　∵cos θ＝＝，sin θ＝，

∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝1×5×＝3.

答案　3

11.如图，已知正三角形ABC的边长为1，求：

(1)·；(2)·；

(3)·.

解　(1)与的夹角为60°.

∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.

(2)与的夹角为120°.

∴·＝||||cos 120°

＝1×1×－＝－.

(3)与的夹角为60°.

∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.

12．(创新拓展)m，n为单位向量，夹角为60°.

(1)求(3m＋5n)与(2m－n)的夹角的余弦值．

(2)若(2m－n)与(km＋n)夹角为120°，求k.

解　(1)由已知得m·n＝，

所以(3m＋5n)·(2m－n)＝，

|3m＋5n|＝＝7，

|2m－n|＝

∴cos θ＝，即所求夹角的余弦值为.

(2)已求得|2m－n|＝，

又|km＋n|＝，(2m－n)·(km＋n)＝k，

所以k＝··cos120°，

解得k＝1(舍去)或k＝－，

∴k＝－.