《导数在研究函数中的应用》文字素材1（苏教版选修2-2）练习题

导数在研究函数中的应用

　　应用一 ——研究函数的单调性

　　1．判断函数的单调性

　　对于函数，如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数．

注意事项：若函数在某区间上的个别点处有，在其余点处恒有（或），即函数在该区间上虽然有（或），但函数在这个区间上仍是严格增函数（或严格减函数）．例如函数的导数在处有，当时，，而函数显然在区间（－∞，＋∞）

上是严格增函数，但．因此，在区间内是在此区间上为严格增函数的充分不必要条件．

　　2．确定函数单调区间的一般步骤

　　（1）确定函数的定义域；

　　（2）求导函数；

　　（3）在定义域范围内解不等式，求得的相应区间是函数的单调增区间；解不等式，求得的相应区间是函数的单调减区间．

　　注意事项：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间．当增（减）区间由若干个不连续区间组成时，应分别作答，不能用“”连接．

　　应用二 ——求函数的极值

　　1．对极值概念的理解

　　（1）极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．它只与某点附近的函数值有关，是仅对某一点的左、右两侧邻域而言的．

　　（2）若函数在内有极值，那么在内不是单调函数．

　　（3）函数在上有极值，它的极值点的分布是有规律的，即相邻两个极大值点之间必有一个极小值点；同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地说，当函数在上连续变化且有有限个极值点时，函数在内的极大值点、极小值点是交替出现的．

　　2．求函数的极值的步骤

　　（1）求函数的定义域；

　　（2）求函数的导数，令，求方程的所有实数根；

　　（3）考察在各实数根左、右的值的符号：

　　①如果在x0两侧符号相同，则不是的极值点；②如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；③如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

　　注意事项：1．我们在求函数的极值时，要求函数在点及其附近有定义；否则，如果函数在点及其附近没有定义，那么函数在点处及其附近就不存在函数值，因而也就无法比较函数值的大小，也就更谈不上求极值了．

　　2．函数在极值点的导数值为０，但导数值为０的点不一定是极值点．一般地，函数在一点的导数值为０是函数在这点取极值的必要不充分条件，其充分条件是函数在这一点的导数值为0且这点两侧的导函数值异号．

　　3．函数的导数不存在的点也可能是极值点．如函数，在处，左侧（），；右侧（），．当时，是f（x）的极小值，但不存在．

　　应用三 ——求函数的最值

　　1．对最值概念的理解

　　函数的最大（小）值是一个整体性概念，是对整个定义域而言的．最大值必须是定义域上所有函数值中的最大值，最小值必须是定义域上所有函数值中的最小值．

　　2．函数的最值与极值的区别与联系

　　（1）函数的极值表示函数在某一点附近的情况，而函数的最值则表示函数在定义域上的整体情况．函数在定义域上的极值可能不止一个，也可能没有，且函数的极大值与极小值之间没有必然的联系，函数的极小值不一定比它的极大值小；但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，且最大值必须是整个定义域上所有函数值中最大的，最小值必须是整个定义域上所有函数值中最小的．

　　（2）函数的极值是在局部对函数值的比较，它只能是函数定义域中的内点，而不能是端点；而最值是在整个定义域上对函数值的比较，它可以在端点处取得．

　　（3）函数有极值未必有最值，有最值也未必有极值．

　　3．求函数在闭区间上的最大值与最小值的步骤

　　（１）求出函数在上的极值；

　　（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

特别地，若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值， 为函数的最小值．

导数应用中的两个“误区”

　　误区之一：把“导数值为0的点”等同于“极值点”

　　满足的点是其为极大（小）值点的必要不充分条件，如果把导数值为０的点等同于极值点，往往容易导致失误．

　　例1　函数的极值点是（　　）．

　　（A）                     （B）

　　（C）或或0             （D）

　　误解：，则由得极值点为，和，故正确答案为（C）．

　　剖析：事实上，这三点都是导数值为０的点，但是不是极值点呢？由知，当时，；当时，；当时，；当时，．在（-∞，-1）、（-1，0）上单调递减，在（0，1）、（1，+∞）上单调递增．因此只有为极小值点，和都不是极值点．故应选（D）．

　　例2　已知函数在点处取极值，且函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．

　　误解：，

　　由，得，

　　∴

．

　　当时，，在递减，

　　∴，∴，

　　故所求a的范围为．

　　剖析：以上解法忽略了一个细节：解题过程只用到，即是的导数值为０的点．当时，，如果，那么就只是导数值为０的点而非极值点．

　　因此a的取值范围应为且．

　　误区之二：判断单调性时忽略特殊情形

　　当在某区间D上恒大于0时，函数在D上为增函数．若反过来，结论如何呢？

　　例3　已知函数在实数集上是增函数，求实数m的取值范围．

　　误解：，

　　依题意，在上恒大于0，

　　所以，得．

　　剖析：当时，是增函数，但反之并不尽然．如是增函数，并不恒大于0（时，）．因此本题应该有在上恒大于０或个别值等于0，所以，得．

导数解决优化问题

　　1．优化问题

　　生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具．

　　2．解实际应用问题的程序

读题　　　　建模　　　求解　　　反馈

（文字语言）　（数学语言）　（数学应用）　（检验作答）

　　（1）函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，将其转化成函数关系式，确定自变量的定义域；

　　（2）问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义．

　　3．实际问题的最值中为什么没有考虑端点的函数值

　　有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值．

　　例　某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：，且生产x吨的成本为（元），问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

　　分析：解本题的关键是利用“利润＝收入－成本”这一等量关系，建立目标函数，注意确定函数定义域，然后利用导数求最值．

　　解：设每月生产x吨时的利润为

 ，（）

　　由，

　　解得，（舍）．

　　∵在内只有一个点使，

　　又，（当）；

　　在点处，，故它就是最大值点，

且最大值为（元）．

　　所以该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为3150000元．