2012数学第4章4.4知能优化训练（湘教版选修1-2）

1．下列变量之间的关系不具有相关关系的是(　　)

A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数对应方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac

B．光照时间和果树每公顷产量

C．降雪量和交通事故发生率

D．每公顷用肥料量和粮食每公顷产量

解析：选A.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系，从而易知B、C、D表示的关系均为相关关系，故选A.

2．设有一个线性回归方程为y＝3－2x，则变量x增加一个单位时(　　)

A．y平均增加2个单位　　　 B．y平均减少3个单位

C．y平均减少2个单位   D．y平均增加3个单位

解析：选C.变量x的系数表示线性回归方程的斜率．

3．对于线性相关系数r，叙述正确的是(　　)

A．|rxy|∈(0，＋∞)，|rxy|越大，相关程度越高，反之，相关程度越低

B．rxy∈(－∞，＋∞)，rxy越大，相关程度越高，反之，相关程度越低

C．|rxy|≤1且|rxy|越接近于1，相关程度越高；|rxy|越接近于0，相关程度越低

D．以上说法都不对

解析：选C.由相关系数的性质知rxy∈[－1,1]，排除A、B；又|rxy|越接近于1，相关程度越高，|rxy|越接近于0，相关程度越低，故选C.

4．为了对学业水平测试成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位．他们的物理，化学分数如下：

若用变量x，y分别记作物理成绩和化学成绩，则x、y之间的线性相关系数rxy为________．

(参考数据：≈85，＝81，(xi－)2≈457，(yi－)2≈550，(xi－)(yi－)≈501，≈21.4，≈23.5)

解析：rxy＝≈

＝≈0.996.

答案：0.996

一、选择题

1．对于回归分析，下列说法错误的是(　　)

A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定

B．线性相关系数可以是正的或负的

C．回归分析中，如果rxy＝0，称两个变量线性不相关

D．样本相关系数rxy∈(－1,1)

解析：选D.由相关系数的计算公式可知|rxy|≤1，D错误．

2．由一组数据(x1，y1)、(x2、y2)、…、(xn，yn)得到的线性回归方程为y＝a＋bx，则下列说法正确的是(　　)

A．直线y＝a＋bx必过点(，)

B．直线y＝a＋bx至少经过点(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)中的一点

C．直线y＝a＋bx是由(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)中的两点确定的

D．(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)这n个点到直线y＝a＋bx的距离之和最小

解析：选A.正确理解线性回归方程的含义，所求的线性回归方程并不一定要经过这n个样本点中的某些点，而是这n个点到直线的距离的平方和最小．即用最小二乘法求出回归直线方程中a，b的值，由于a＝－b，即＝a＋b，由此可以看出(，)适合回归直线方程y＝a＋bx，所以直线y＝a＋bx必过点(，)．

3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为(　　)

A．63.6万元   B．65.5万元

C．67.7万元   D．72.0万元

解析：选B.由表可计算＝＝，＝＝42，因为点(，42)在回归直线y＝bx＋a上，且b为9.4，所以42＝9.4×＋a，解得a＝9.1，

故回归方程为y＝9.4x＋9.1，令x＝6得y＝65.5，选B.

4．对变量x、y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①，对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：选C.在图①中，所有点都在一条直线的附近，且直线的斜率为负值，所以变量x与y负相关；同理，变量u与v正相关，故选C.

5．工人月工资y(元)以劳动生产率x(千元)变化的回归方程为y＝500＋80x，则下列判断正确的是(　　)

A．劳动生产率为1000元时，月工资为80元

B．劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高80元

C．劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高580元

D．月工资为660元时，劳动生产率为2000元

解析：选B.回归方程是通过一定的数学方程来反映变量之间的相关关系，以便从一个已知量来推测另一个未知量．线性回归方程y＝a＋bx中的回归系数b表示直线的斜率，其含义是当自变量x每增加一个单位时，因变量y的平均增加值．

y＝500＋80x中的回归系数80表示劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高80元，故选B.

6．某工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观察值．计算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，则y对x的线性回归方程为(　　)

A．y＝11.47＋2.62x   B．y＝－11.47＋2.62x

C．y＝2.62＋11.47x   D．y＝11.47－2.62x

解析：选A.由已知条件得＝6.5，＝28.5，代入公式b＝＝≈2.62，

a＝－b＝28.5－2.62×6.5＝11.47，

∴回归直线方程为y＝11.47＋2.62x.

二、填空题

7．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，

由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－0.7x＋a，则a＝________.

解析：＝2.5，＝3.5，

b＝－0.7，∴a＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.

答案：5.25

8．一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：xi＝28，x＝303.4，yi＝75，y＝598.5，xiyi＝237，则y与x的相关系数rxy的绝对值为________．

解析：rxy＝＝

＝＝0.3.

答案：0.3

9．(2011年西安高二检测)某单位为了了解用电量y度与气温x °C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4 °C时，用电量的度数约为________．

解析：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝－2，a＝60，所以当气温为－4 °C时，用电量的度数约为68.

答案：68

三、解答题

10．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系.

解：将数据列成下表：

由此可得＝128.875，＝8.95.进而求得

rxy＝＝

＝

≈0.9927.

所以交通事故y和机动车辆数x是高度相关的．

11．某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：

(1)x与y之间是否具有线性相关关系？若有，求其线性回归方程；

(2)若实际销售额不少于50百万元，则原料耗费应该不少于多少？

解：(1)画出(x，y)的散点图，如图所示，由图可知x，y呈现线性相关关系．

＝5，＝47.5，x＝120，

y＝9900，xiyi＝1080，

∴rxy＝＝

＝

≈0.9827.

故x与y之间存在线性相关关系．

由公式得回归系数

b＝＝＝＝6.5，

a＝－b＝47.5－6.5×5＝15.

故y对x的回归直线方程为y＝6.5x＋15.

(2)由回归直线方程知，当y≥50，

即6.5x＋15≥50时，x≥≈5.38.

故原料耗费应不少于5.38百万元．

12．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，故必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如表所示：

(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？

(2)求线性回归方程；

(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？

解：(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示：

从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关．

(2)将数据列表如下：

由此可得＝＝159.8，＝＝172.

b＝＝≈1.267，a＝－b≈－30.47.

即所求的线性回归方程为y＝1.267x－30.47.

(3)当x＝160时，y＝1.267×160－30.47≈172(分钟)，

即大约冶炼172分钟．