2012数学第7章7.2知能优化训练（湘教版选修1-2）

1．已知a、b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的(　　)

A．充要条件　　　　　　　 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件     D．既不充分也不必要条件

解析：选C.若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则.故选C.

2．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为(　　)

A．x＝0且y＝3     B．x＝0且y＝－3

C．x＝5且y＝2     D．x＝3且y＝0

解析：选A.由，得，故选A.

3．以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是(　　)

A．3－3i       B．3＋i

C．－＋i      D.＋i

解析：选A.3i－的虚部为3，－3＋i的实部为－3，故所求复数为3－3i.

4．已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________．

解析：∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.

答案：±1

一、选择题

1．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　)

A．C＝R∪I    B．R∪I＝{0}

C．R＝C∩I     D．R∩I＝∅

解析：选D.用维恩图可得答案．

2．下列说法正确的是(　　)

A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等

B．ai是纯虚数

C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0

D．复数a＋bi不是实数

解析：选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.

3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)

A．－1      B．1

C．±1       D．－1或－2

解析：选B.∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，

∴，由x2－1＝0得x＝±1，

又当x＝－1时x2＋3x＋2＝0，

当x＝1时x2＋3x＋2≠0，

∴x＝1.

4．对于复数a＋bi(a、b∈R)，下列结论正确的是(　　)

A．a＝0，则a＋bi为纯虚数

B．a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－3

C．b＝0，则a＋bi为实数

D．1的平方等于i

解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D,1的平方仍为1，只有C对．

5．若(a－2)i＝b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝(　　)

A．0       B．2

C．5       D．1

解析：选D.∵，故，

∴a2＋b2＝1.

6．(2011年沈阳模拟)“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的(　　)

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

解析：选A.当a＝－2时，复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i＝－i，为纯虚数；当复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i为纯虚数时，有，解得a＝±2，故选A.

二、填空题

7．若a－2i＝bi＋1(a、b∈R)，则b＋ai＝________.

解析：根据复数相等的充要条件，得，

∴b＋ai＝－2＋i.

答案：－2＋i

8．若复数z＝sin2α－i(1－cos2α)是纯虚数，则α＝________.

解析：⇒⇒2α＝(2k＋1)π(k∈Z)，

∴α＝kπ＋(k∈Z)．

答案：kπ＋(k∈Z)

9．若实数x、y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则x＝________，y＝________.

解析：由复数相等的充要条件得，解得x＝y＝1.

答案：1　1

三、解答题

10．若a2－2a＋(a2－3a＋2)i<0，试求实数a的值．

解：由题意知

解得

∴a＝1.

11．已知关于实数x，y的方程组

有实数解，求实数a，b的值．

解：根据复数相等的充要条件，得，解得③.把③代入②，得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a、b∈R，∴，解得.

12．设z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，m∈R，当m为何值时，z分别满足：(1)是实数；(2)是纯虚数；(3)z>0.

解：(1)要使z∈R，则

∴m＝－1或m＝－2，

所以当m＝－1或m＝－2时，z为实数．

(2)要使z为纯虚数，则须

即

∴∴m＝3.

所以当m＝3时，z为纯虚数．

(3)要使z>0，则须

即

∴m＝－2.

所以当m＝－2时，z＞0.