数学九年级上册3.3 垂径定理教案

垂径定理

教学目标：

1、    经历用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；同时明确垂径定理是圆的轴对称性的重要体现；

2、    初步运用垂径定理解决有关圆中的计算和证明问题；

3、    在实验探索中，经历“实验----归纳----猜测----证明”的过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力；

4、    在课前导入、课中问题解决这两个环节中进一步体验数学来源于生活而又服务于生活的理念；

教学重难点：

重点：掌握垂径定理；并能应用垂径定理进行简单的计算及证明；

难点：在实验探索中发现并证明垂径定理；

教学方法：

本节课采用的教学方法是“主体探究法”。整节课充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位，注重学生探究能力的培养，让学生成为知识的发现者。

教学过程：

一、        情景创设、引入课题

利用唐代诗人张九龄《望月怀远》中名句“海上生明月、天涯共此时”（动画演示，通过呈现月亮在海平面升起的过程，与学生一起分享美景的同时介绍数学问题，1、直线与圆的三种位置关系；2、截取圆中弦、弧内容；引出课题、进入圆中知识复习）

（此环节设计意图：利用生活中的现象揭示数学无处不在，激发学生学习数学的兴趣。）

二、        复习回顾、探究新知

1、复习圆的基本概念及相关知识：

（1）圆弧；（2）等弧；（3）弦；（4）圆的轴对称性

（此环节的设计意图：一方面是温故知新，另方面是为实验操作探究新知打下伏笔）

2、实验探索

步骤：（1）拿出课前准备的圆形纸片，找到这个圆的圆心，记作：点O。

     （2）折出这个圆的任意一条对称轴，把与圆的交点分别记作点C、D。

     （3）用折叠的方法在圆上找到任意两个对称点，分别记作点A、B，把线段AB与直径CD的交点记作点E。

3、探究新知：

（1）问：你能发现图中有哪些相等的线段与弧？为什么相等？

（2）引导学生探究线段相等？（分别利用等腰三角形三线合一、全等三角形两个途径进行证明）

（3）引导学生探究弧相等？（利用圆的轴对称性及等弧相关知识说明）

三、        归纳小结、巩固新知

1、讨论：以上的实验操作过程中你认为条件是什么？操作后你又发现了什么结论？你能用一个命题来加以概括？

2、归纳：（1）垂径定理（2）几何语言 （3）弧的中点

（此环节的设计意图：1、通过实验操作培养学生动手操作能力；2、经历“实验----归纳----猜测----证明”的过程，培养学生观察分析、归纳问题；3、培养学生合作探究能力。）

3、辨析：下列图形是否具备垂径定理的条件？

（此环节的设计意图：通过辨析加深学生对垂径定理的理解，强化直径、垂直于弦这两个条件缺一不可。同时适时拓展垂直于弦的线段不一定要是完整的直径，只要是过圆心的线段垂直于弦即可。）

四、        学以致用、应用新知

1、例1、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点。

A                  B

  例2：如图已知在排水管的半径0B=10，水面宽AB=16，，求截面圆心O到水面AB的距离？

   例1      例2  

2、    变式1：如图，已知在⊙ O中，弦AB=8直径CD ⊥ AB于点E，CE=2，求⊙ O半径？

3、    变式2：如图在 ⊙O中，弦AB∥CD．则弧AC与弧BD等吗？

4、    挑战自我：在 ⊙O中，直径长10，弦AB=8，CD=6,且弦AB∥CD，求弦AB、CD之间的距离？

（此环节的设计意图：1、总的来说是学以致用，巩固新知，即应用垂径定理解决数学问题。2、例1的设疑安排：通过找弧的中点培养学生分析问题及动手作图能力；3、例2的设计安排：通过用代数方法解决几何实际问题的能力；4、变式1的设计安排：进一步提高学生应用垂径定理解决问题的能力，同时渗透方程思想解决几何问题的妙；5、变式2的设计安排：通过此例解决初步培养学生解决等弧的证明能力，进一步体会垂径定理的价值；6、自我挑战的设计意图：不给出图形，提升学生分类讨论的意识，提升学生构图能力）

五、        拓展升华、总结提炼

1、    从知识上你学习了什么？（利用圆的轴对称性探究学习了圆的垂径定理）

2、    从方法上你学下了什么？

（1）垂径定理与勾股定理的结合；

（2）常见的辅助线：过圆心作垂直于弦的线段、连接半径；

（3）数学思想方法：方程思想、分类讨论思想；

（此环节的设计意图：培养学生提炼知识的能力，使数学知识系统化；通过总结让学生加深了对垂径定理的思考，加深对数学方法的应用得以升华。）