高中数学苏教版选修21.5定积分练习题

1.5定积分测试题

一、选择题

1．给出如下命题：

①（为常数且）；②；

③曲线，，与直线围成的两个封闭区域的面积之和为2．

其中真命题的个数为（    ）

A．0  B．1  C．2  D．3

答案：B

2．等于（    ）

A．  B．  C．  D．

答案：C

3．若某产品一天内的产量是时间的函数，若已知产量的变化率为，那么从第3小时到第6小时期间内的产量为（    ）

A．  B．  C．  D．

答案：D

4．，则的最大值是（    ）

A．1  B．2  C．  D．0

答案：B

二、填空题

5．若是一次函数，且，，那么的值是

          ．

答案：

6．物体按照规律（m）做直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10m/s时，阻力为2N，则物体从到阻力所做的功等于         ．

答案：

三、解答题

7．在曲线上某一点处作一切线使之与曲线以及轴所围成图形的面积为，试求：

（1）切点的坐标；

（2）过切点的切线方程．

解：（1）设切点，切线斜率为，

切线方程为，

令，得．

，

解得，切点的坐标为；

（2）将代入切线方程，得，

整理，得．

即所求切线方程为．

8．已知质量为的物体，将该物体发射升空脱离地球，求证：物体脱离地球时所做的功为（其中分别为地球的质量和半径，为引力常数）．

证明：引力，

使物体自运动到时所做的功为

，

故物体脱离地球时所做的功为．

备选题

1．  在区间上给定曲线，如图所示，试在此区间内确定点的值，使图中的阴影部分的面积与之和最小．

解：面积等于边长为与的矩形面积去掉曲线与轴，

直线围成的面积，即的面积等于曲线与轴，

，围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为，，即．

所以阴影部分面积为：

，

由，得，或．

经验证知，当时，最小．

2．  过原点的直线与抛物线所围成图形的面积为36，求的方程．

解：由题意可知直线的斜率存在，故设直线的方程为，

则由，得或．

（1）当，即时，

面积

，

，故直线的方程为；

（2）当，即时，

，

，故直线的方程为．

综上，直线方程为或．

3．  一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满了水．试求将全部池水抽出池外需做的功．

解：为方便起见，取坐标轴如图所示．由于抽出相同深度处单位体积的水需作相同的功（等于水的比重深度），因此首先考虑将池中深度为到的一薄层水抽至池口需作的功．当很小时，把这一薄层水的深度都看作，并取的体积

，

这时有．

从而将全部池水抽出池外需作的功为．