高中数学湘教版必修37.2直线的方程教案及反思

第二课时　直线的方程－两点式、截距式

●教学目标

1. 掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围;
2. 了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.

●教学重点

直线方程的两点式

●教学难点

两点式推导过程的理解

●教学方法

学导式

●教学过程

1、创设情境

直线l过两点A（1,2），B（3,5），求直线l的方程。

回忆：直线方程的点斜式、斜截式

直线方程的点斜式： y―y1 =k( x ―x1)

直线的斜截式：y = kx + b

解：∵直线l过两点A（1,2），B（3,5）

∴直线l的斜率k = (5―2)/(3―1)

∴直线l的方程是y ―2 = [(5―2)/(3―1)](x―1)

即：(y ―2)/ (5―2)= (x―1) / (3―1)

2、提出问题：

直线l过两点A（x1,y1），B（x2,y2），(x1≠x2)求直线l的方程。

推导:因为直线l经过点A（x1,y1），B（x2,y2），并且x1≠x2，所以它的斜率.代入点斜式, 得.

3、解决问题

直线方程的两点式:

其中（是直线两点的坐标.

说明:①这个方程由直线上两点确定;

②当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它的方程.

两点式的变形式：(x2―x1)(y―y1) = (y2―y1)(x―x1).

特殊情况，若直线l过点（a,0），（0，b），(ab≠0)则直线l的方程是什么？

分析：代入两点式有　，整理得

直线方程的截距式:,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.

说明:①这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式;

②求直线在坐标轴上的截距的方法：

令x = 0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距。

4、     反思应用:

例1　三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边所在直线的方程.

解:直线AB过A(-5,0)、B（3，-3）两点，由两点式　　得

整理得：，即直线AB的方程.

直线BC过C(0,2),斜率是,

由点斜式得:

整理得:,即直线BC的方程.

直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由截距式得:

整理得：，即直线AC的方程.

变：三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边上的中线所在直线的方程.

分析：∵A(-5,0)、B（3，-3）∴AB的中点是（－1，－3/2）

　　　∴AB边上的中线所在的直线方程是

　　　即y = 3x/2 + 2

     同理BC边的中线所在的直线方程是y =―x/13―5/13

          AC边的中线所在的直线方程是y =―4x/11―9/11

说明:例1中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起注意.

巩固训练　　P41练习1、2

例2　直线l在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线2x－y－1＝0的倾斜角的2倍，求直线l的方程。

分析：选用直线方程的形式－点斜式

解：设直线2x－y－1＝0的倾斜角是α，则直线l的倾斜角是2α。

∵tanα= 2, ∴tan2α= 2tanα/(1－tan2α) = －4/3

又直线l在y轴上的截距为－1，

∴直线l的方程是y = ―4x/3―1

例3　直线l过点（1,2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程。

分析：选用截距式，行吗？为什么？

　　　截距式要求ab≠0。题目中只告诉我们截距相等，并没有说它们不等于0，故需分类讨论。

解：当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，此时方程为y=2x；

　 当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可设方程为x/a+y/a=1

将点（1,2）代入得a=3，此时方程为x+y=3。

故直线l的方程为y = 2x或x+y－3=0

例4　已知直线l的斜率为1/6,且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程。

解：设直线l的方程为：y = x/6 + b，

则它在两坐标轴上的截距分别为－6b与b.

由题意知｜－6b2|/2 = 3，解得b = ±1

∴直线l的方程是y = x/6±1，即x－6y±6 = 0

●归纳总结

数学思想：数形结合、特殊到一般

数学方法：公式法

知识点：点斜式、斜截式、两点式、截距式

●作业　　P44　习题7.2  4,5,6,7

思考题：直线l过点P（2,1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求直线l的方程。

分析：设直线l的方程是y ― 1 = k(x―2)，（k≠0）

则A(2－1/k , 0), B(0, 1－2k)

    ∴｜PA｜·｜PB｜=

      ≥

当且仅当k2=1即k=±1时｜PA｜·｜PB｜取最小值。又根据题意k<0, ∴k= －1，

　　　∴直线l的方程是：x ＋ y －3＝0

教学后记：