2008年广东高考（文科）数学试题及答案

2008年广东省高考数学试卷（文科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2008•广东）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（　　）

A．A⊆B B．B⊆C C．A∩B=C D．B∪C=A

2．（5分）（2008•广东）已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（　　）

A．（1，5） B．（1，3） C． D．

3．（5分）（2008•广东）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（　　）

A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）

4．（5分）（2008•广东）记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（　　）

A．2 B．3 C．6 D．7

5．（5分）（2008•广东）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数

6．（5分）（2008•广东）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（　　）

A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y﹣1=0

7．（5分）（2008•广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（　　）

A． B． C． D．

8．（5分）（2008•广东）命题“若函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是（　　）

A．若loga2≥0，则函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数

B．若loga2＜0，则函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数

D．若loga2＜0，则函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数

9．（5分）（2008•广东）设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　）

A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D．

10．（5分）（2008•广东）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（　　）

A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0

二、填空题（共5小题，11--13为必做题，14--15题选做1题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）（2008•广东）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是　　　　　　．

12．（5分）（2008•广东）若变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值是　　　　　　．

13．（5分）（2008•广东）阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a=　　　　　　，i=　　　　　　．

（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”）

14．（5分）（2008•广东）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，，则曲线C1与C2交点的极坐标为　　　　　　．

15．（2008•广东）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=　　　　　　．

三、解答题（共6小题，满分80分）

16．（13分）（2008•广东）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．

（1）求f（x）的解析式；

（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．

17．（12分）（2008•广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）

18．（14分）（2008•广东）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．

（1）求线段PD的长；

（2）若，求三棱锥P﹣ABC的体积．

19．（13分）（2008•广东）某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．

（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？

（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．

20．（14分）（2008•广东）设b＞0，椭圆方程为，抛物线方程为x2=8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

21．（14分）（2008•广东）设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=（an﹣1+2an﹣2）（n=3，4，…）．数列{bn}满足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有﹣1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn=nanbn（n=1，2，…），求数列{cn}的前n项和Sn．

1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ C   ）

A．  B．  C．  D．

【解析】，而，即，

2．记等差数列的前项和为，若，，则（  D  ）

A．16  B．24  C．36  D．48

【解析】，，故

3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（  C ）

A．24  B．18  C．16  D．12                  表1  

【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为

4．若变量满足则的最大值是（ C ）

A．90     B．80    C．70      D．40

【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.

5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）

【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.

6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）

A．   B．  C．   D．

【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题

7．设，若函数，有大于零的极值点，则（  B ）

A．  B．  C．  D．

【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.

8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（  B ）

A．  B．   C．  D．

【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法则易得答案B.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9~12题）

9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出     ，      

（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）

【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，

而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍

数12，即此时有。

10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，

则         ．

【解析】按二项式定理展开的通项为，

我们知道的系数为，即，也即，

而是正整数，故只能取1。

11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线

方程是           ．

【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的

直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的

值为，故待求的直线的方程为。

12．已知函数，，则的最小正周期是          ．

【解析】,此时可得函数的最小正周期。

二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）

13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为          ．

【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。

14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是       ．

【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为

15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径           ．

【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

已知函数，的最大值是1，其图像经过点．

（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．

【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；

（2）依题意有，而，，

。

17．（本小题满分13分）

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列为：

（2）

（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，，即，解得 所以三等品率最多为

18．（本小题满分14分）

设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

【解析】（1）由得，

当得，G点的坐标为，，，

过点G的切线方程为即，

令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，

同理 以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

19．（本小题满分14分）

设，函数，，，试讨论函数的单调性．

【解析】 

对于，

当时，函数在上是增函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数；

对于，

当时，函数在上是减函数；

当时，函数在上是减函数，在上是增函数。

20．（本小题满分14分）

如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．

（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；

（3）当时，求的面积．

【解析】（1）在中，，

而PD垂直底面ABCD，

,

在中，,即为以为直角的直角三角形。

设点到面的距离为,由有,即

    ;

(2),而,即,，

,是直角三角形；

（3）时,,

即,

的面积

21．（本小题满分12分）

设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；

（3）若，，求的前项和．

【解析】（1）由求根公式，不妨设，得

，

（2）设，则，由得，

消去，得，是方程的根，由题意可知，

①当时，此时方程组的解记为

即、分别是公比为、的等比数列，

由等比数列性质可得,,

两式相减，得

，，

，

，即，

②当时，即方程有重根，，

即，得，不妨设，由①可知

，，

即，等式两边同时除以，得，即

数列是以1为公差的等差数列，,

综上所述，

（3）把，代入，得，解得