2013年广东高考（文科）数学试题及答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(广东卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013广东，文1)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝(　　)．

A．{0}          B．{0,2}      C．{－2,0}      D．{－2,0,2}

2．(2013广东，文2)函数的定义域是(　　)．

A．(－1，＋∞)            B．[－1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞)      D．[－1,1)∪(1，＋∞)

3．(2013广东，文3)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(　　)．

A．2      B．3      C．4      D．5

4．(2013广东，文4)已知，那么cos α＝(　　)．

A．      B．      C．      D．

5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是(　　)．

A．1      B．2      C．4      D．7

6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)．

A．      B．      C．      D．1

7．(2013广东，文7)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是(　　)．

A．x＋y－＝0      B．x＋y＋1＝0      C．x＋y－1＝0         D．x＋y＋＝0

8．(2013广东，文8)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)．

A．若l∥α，l∥β，则α∥β      B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥β      D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)．

A．      B．      C．      D．

10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.

上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)．

A．1      B．2      C．3      D．4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

(一)必做题(11～13题)

11．(2013广东，文11)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝__________.

12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.

13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是__________．

 (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为__________．

15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝__________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数，x∈R.

(1)求的值；

(2)若cos θ＝，θ∈，求.

17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；

(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？

(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．

18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.

图(1)                                图(2)

(1)证明：DE∥平面BCF；

(2)证明：CF⊥平面ABF；

(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.

19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝an＋12－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．

(1)证明：；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有.

20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．

21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．

(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当k＜0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

答案：A

解析：∵S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．

2．

答案：C

解析：要使函数有意义，则

解得x＞－1且x≠1，

故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．

3．

答案：D

解析：∵i(x＋yi)＝－y＋xi＝3＋4i，

∴

∴x＋yi＝4－3i.

∴|x＋yi|＝＝5.

4．

答案：C

解析：∵

＝＝cos α＝，

∴cos α＝.

5．

答案：C

解析：i＝1，s＝1，i≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；

i≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；

i≤3，s＝2＋2＝4，i＝4；

i＞3，s＝4.

6．

答案：B

解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V三棱锥＝××1×1×2＝.

7．

答案：A

解析：由于所求切线垂直于直线y＝x＋1，可设所求切线方程为x＋y＋m＝0.由圆心到切线的距离等于半径得，解得.

又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则.

8．

答案：B

解析：如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，

对于A，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.

A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，

而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；

对于C，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD，A1A∥平面DCC1D1，

而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；

对于D，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD．

故A，C，D都是错误的．

而对于B，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B正确．

9．

答案：D

解析：由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知，c＝1.

又离心率等于，则，得a＝2.

由b2＝a2－c2＝3，

故椭圆C的方程为.

10．

答案：B

解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④不正确．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

(一)必做题(11～13题)

11．答案：15

解析：由数列{an}首项为1，公比q＝－2，则an＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.

12．答案：

解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝.

13．答案：5

解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l0，当l过点A(1,4)，即当x＝1，y＝4时，zmax＝5.

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14．答案：(φ为参数)

解析：由曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝1，故参数方程为(φ为参数)．

15．

答案：

解析：在Rt△ABC中，AB＝，BC＝3，tan∠BAC＝，

则∠BAC＝60°，AE＝AB＝.

在△AED中，∠EAD＝30°，AD＝3，

ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcos∠EAD

＝＋32－2××3×cos 30°

＝＋9－2××3×

＝.

∴ED＝.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．

解：(1).

(2)∵cos θ＝，θ∈，

sin θ＝，

∴

＝.

17．

解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为＝0.4；

(2)重量在[80,85)的有4×＝1个；

(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝.

18．

(1)证明：在等边三角形ABC中，

∵AD＝AE，∴.

又，在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立，

∴DE∥BC．

∵DE平面BCF，BC平面BCF，

∴DE∥平面BCF.

(2)证明：在等边三角形ABC中，∵F是BC的中点，BC＝1，∴AF⊥CF，BF＝CF＝.

∵在三棱锥A－BCF中，BC＝，

∴BC2＝BF2＋CF2.∴CF⊥BF.

∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.

(3)解：由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.

∴VF－DEG＝VE－DFG＝×·DG·FG·GE＝.

19．

(1)证明：当n＝1时，4a1＝a22－5，∴a22＝4a1＋5.

∵an＞0，∴.

(2)解：当n≥2时，4Sn－1＝an2－4(n－1)－1，①

4Sn＝an＋12－4n－1，②

由②－①，得4an＝4Sn－4Sn－1＝an＋12－an2－4，

∴an＋12＝an2＋4an＋4＝(an＋2)2.

∵an＞0，∴an＋1＝an＋2，

∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列．

∵a2，a5，a14构成等比数列，

∴a52＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.

由(1)可知，4a1＝a22－5＝4，∴a1＝1.

∵a2－a1＝3－1＝2，

∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．

∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.

(3)证明：

＝

＝

＝.

20．

解：(1)依题意，解得c＝1(负根舍去)．

∴抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由x2＝4y，即y＝x2，得y′＝x.

∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，

即y＝x＋y1－x12.

∵y1＝x12，∴y＝x－y1.

∵点P(x0，y0)在切线PA上，

∴y0＝x0－y1.①

同理，y0＝x0－y2.②

综合①，②得，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程y0＝x0－y.

∵经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线是唯一的，

∴直线AB的方程为y0＝x0－y，即x0x－2y－2y0＝0.

(3)由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，

∴|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)

＝y1＋y2＋y1y2＋1.

联立

消去x得y2＋(2y0－x02)y＋y02＝0，

∴y1＋y2＝x02－2y0，y1y2＝y02.

∵点P(x0，y0)在直线l上，∴x0－y0－2＝0.

∴|AF|·|BF|＝x02－2y0＋y02＋1

＝y02－2y0＋(y0＋2)2＋1

＝2y02＋2y0＋5＝.

∴当y0＝时，|AF|·|BF|取得最小值为.

21．

解：f′(x)＝3x2－2kx＋1，

(1)当k＝1时，

f′(x)＝3x2－2x＋1，Δ＝4－12＝－8＜0，

∴f′(x)＞0，即f(x)的单调递增区间为R.

(2)(方法一)当k＜0时，f′(x)＝3x2－2kx＋1，其开口向上，对称轴，且过(0,1)．

①当Δ＝4k2－12＝≤0，

即≤k＜0时，f′(x)≥0，f(x)在[k，－k]上单调递增．

从而当x＝k时，f(x)取得最小值m＝f(k)＝k；

当x＝－k时，f(x)取得最大值M＝f(－k)＝－k3－k3－k＝－2k3－k.

②当Δ＝4k2－12＝＞0，即k＜时，

令f′(x)＝3x2－2kx＋1＝0，

解得：，，注意到k＜x2＜x1＜0.

(注：可用韦达定理判断x1·x2＝，x1＋x2＝＞k，从而k＜x2＜x1＜0；或者由对称结合图象判断)

∴m＝min{f(k)，f(x1)}，M＝max{f(－k)，f(x2)}．

∵f(x1)－f(k)＝x13－kx12＋x1－k

＝(x1－k)(x12＋1)＞0，

∴f(x)的最小值m＝f(k)＝k.

∵f(x2)－f(－k)＝x23－kx22＋x2－(－k3－k·k2－k)＝(x2＋k)[(x2－k)2＋k2＋1]＜0，

∴f(x)的最大值M＝f(－k)＝－2k3－k.

综上所述，当k＜0时，f(x)的最小值m＝f(k)＝k，最大值M＝f(－k)＝－2k3－k.

(方法2)当k＜0时，对∀x∈[k，－k]，都有

f(x)－f(k)＝x3－kx2＋x－k3＋k3－k＝(x2＋1)(x－k)≥0，故f(x)≥f(k)．

f(x)－f(－k)＝x3－kx2＋x＋k3＋k3＋k＝(x＋k)(x2－2kx＋2k2＋1)＝(x＋k)[(x－k)2＋k2＋1]≤0.

故f(x)≤f(－k)．∵f(k)＝k＜0，f(－k)＝－2k3－k＞0，

∴f(x)max＝f(－k)＝－2k3－k，f(x)min＝f(k)＝k.