高中数学沪教版高中三年级 第一学期15.1多面体的概念教学设计

15.2多面体的直观图

一、教学内容分析

多面体的直观图是学习了多面体的概念以后，如何在平面上画出具有立体感的空间图形的直观图.课本在解决这个问题上分了两步，第一步举例说明平面多边形的水平放置图的画法（矩形和正六边形）；第二步，以三棱柱和三棱锥为例说明了棱柱和棱锥的直观图的作法，这样处理使得学生比较容易掌握画直观图的基本技能，也培养了学生的空间想象能力.在画矩形和三棱柱的直观图过程中，课本特别介绍了不同位置放置时，不同的直观图，要求学生掌握各种情况下画直观图，真正理解“斜二测”画直观图的本质.

二、教学目标设计

 知道平行投影原理，会用“斜二测”方法画简单的几何体（长方体、正方体、三棱柱、棱锥）；掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力.

三、教学重点及难点

   掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，掌握正棱柱、正棱锥的直观图的画法.

四、教学用具准备

三角板、圆规、彩色粉笔

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、 情景引入

   1．观察课本P25正方体的直观图，理解不同视角，所得不同图形.

   2．引出斜二测作图法及其规定（课本P26 图15-8）.

 [说明]在此要对平行透视的方法进行适当的介绍.

二、学习新课

   1．斜二测作图法

（1）规定按图15-8所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，依次把它们叫做轴、轴、轴；

（2）规定在轴和轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一.

   2．例题分析

例1.画水平放置的边长为和的矩形的直观图.

画法：（1）在已知矩形OABC中，取OA所在的直线为x轴，取OC所在的直线为y轴，画对应的  轴， 轴，使          ．

（2）在轴上截取，在轴上截取，过点作         ,连    ，则       就是矩形OABC的直观图．

[说明]（1）原矩形的放置也可以是,那么直观图的图形也会随之变化.（可由学生操作）

（2）在作图过程中，主要体会“斜二测”作图过程中，原图中的点、线在直观图中如何寻求.

例2.画水平放置的边长为2cm的正六边形的直观图．（如图7）

画法：（1）在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取对称轴GH为y轴．画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°．

（2）在x′轴上截取O′A′=OA，截取O′D′=OD，对于不在x轴、y轴上的顶点B，C，E，F，都向x轴作垂线，它们的垂足为M，N．在x′轴上截取O′M′=OM，截取O′N′=ON，过M′，N′作与y′轴平行的直线，在这两直线上截取.

（3）连A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，则所得的六边形就是正六边形ABCDEF的直观图．

[说明] 在斜二测画法中，直观图仍保留了原图中三个主要的性质：

第一，保平行．在正六边形 ABCDEF中， AB∥FE∥BC， BE∥AF∥CD，FC∥ED∥AB，在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中A′D′∥F′E′∥B′C′，B′E′∥A′F′∥C′D′，F′C′∥E′D′∥A′B′．

第二，保共点、共线．在正六边形ABCDEF中，A，O，D三点共线，B，O，E三点共线，C，O，F三点共线；AD，BE，CF三线共点．在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中，A′，O′，D′三点共线，B′，O′，E′三点共线，C′，O′，F′三点共线；A′D′，B′E′，C′F′三线共点．

第三，保平行线段的比不变．在正六边形ABCDEF中，AD∶FE∶BC=2∶1∶1、BE∶AF∶CD=2∶1∶1，CF∶ED∶AB=2∶1∶1.在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中，A′D′∶F′E′∶B′C′=2∶l∶l， B′E′∶A′F′∶C′D′=2∶l∶1， C′F′∶E′D′∶A′B′=2∶1∶l．

正因为有这“三保”，所以直观图的形状虽然有很大的变化，但我们仍能借助于直观图加上概念想象出原图的形状和性质．

例3.画正三棱柱的直观图，使它的底面是边长为的正三角形，高度是.

例4.画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为，且垂直于底面.

[说明]（1）直棱柱的作图，是在平面正多边形的直观图的基础上，使它沿轴正方向平移相应的长度，然后联结各定点所得.所以关键还是在于掌握平面多边形的直观图作法.

（2）棱锥的作图，主要是顶点的位置，顶点在底面上的射影沿轴正方向平移相应长度就能得到顶点.

3．问题拓展

例5.矩形的面积是，求用斜二测画法得到的直观图的面积.

     [说明] 由斜二测作法的线段比例关系以及角度的关系，我们可以得到多边形的直观图的面积是原图面积的倍.

三、巩固练习

1.在水平放置的平面上，作一个边长为的正三角形的直观图.

2.作正六棱柱的直观图，使它的底面边长为，高是.

四、课堂小结

（1）平面多边形的水平放置图的画法；

（2）直棱柱和棱锥的直观图的作法.

五、作业布置

1.在水平放置的平面上，作满足下列条件的等腰直角三角形ABC及其重心M：（1）一条直角边平行于轴

（2）斜边平行于轴.

2.作正五棱柱的直观图，使它的底面边长为，高是.

3．作正四棱锥的直观图，使它的高为，且底面边长为.

4．应用斜二测画法得到的正三角形的直观图的面积为，求原正三角形的边长.

七、教学设计说明

  通过学习斜二测画法，学会画棱柱与棱锥的直观图，并理解其本质是本课时教学的主要内容.通过画平面图形的直观图，说明画多面体的直观图的基础还是平面图形的直观图，将问题细化.通过例1和例2，学会画平面图形中点和线，最终构成了直观图.例3和例4则把棱柱和棱锥的作法具体化，进而把本教学内容具体化，进一步培养学生的空间感觉.例5的选取，则是为了进一步说明斜二测作图过程中，线的长度和角度之间的关系.