数学高中一年级 第一学期2.5不等式的证明导学案及答案
展开§2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法
☆学习目标: 1.理解并掌握综合法与分析法;
2.会利用综合法和分析法证明不等式
☻知识情景:
1. 基本不等式:
10. 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.
20. 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.
30. 如果, 那么, 当且仅当时, 等号成立.
2.均值不等式:如果,那么 的大小关系是:
常用推论:10. ;
20. ;
30. ().
3. 不等式证明的基本方法:10. 比差法与比商法(两正数时).
20. 综合法和分析法.
30. 反证法、换元法、放缩法
☆案例学习:
综合法:从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,
通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.
又叫由 导 法.
用综合法证明不等式的逻辑关系:
例1
例2
分析法:从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,
直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),
从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.
这是一种执 索 的思考和证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系:
例3
例4
例5 证明:
选修4-5练习 §2.1.2不等式的证明(2) 姓名
1、已知求证
2、已知 求证
3、已知求证:(1)(2)
4、已知都是正数。求证:
(1) (2)
5、已知都是互不相等的正数,求证
6 是互不相等的正数,且. 求证:.
7 已知a,b,m都是正数,并且分别用综合法与分析法求证:.
8设,分别用综合法与分析法求证:
9(1)已知是正常数,,,求证:,指出等号成立的条件;
(2)利用(1)的结论求函数()的最小值,指出取最小值时的值.
答案:
例1
例2
例3
例4
例5 证明 (1) (2) (3)
(4)
(5)
(5)显然成立。因此(1)成立。
练习
6 ∵ 是互不相等的正数,且
∴
∴
7 证法一 要证(1),只需证 (2)
要证(2),只需证 (3)
要证(3),只需证 (4)
已知(4)成立,所以(1)成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二 因为 是正数,所以
两边同时加上得
两边同时除以正数得(1)。
8证法一 分析法
要证成立.
只需证成立,
又因,
只需证成立,
又需证成立,
即需证成立.
而显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
注意到,即,
由上式即得,
从而成立。
议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗?
9(1),
故.当且仅当,即时上式取等号;
⑵由⑴得.
当且仅当,即时上式取最小值,即.
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