2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析

这是一份2021年高考数学真题和模拟题分类汇编专题13排列组合与二项式定理含解析，共10页。试卷主要包含了选择题部分，填空题部分等内容，欢迎下载使用。

专题13 排列组合与二项式定理
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（　　）
A．126 B．360 C．600 D．630
【答案】D．
【解析】第一类，上下午共安排4个活动（上午2个，下午2个）分配给甲，乙，故有A62A42＝360种，
第二类，上下午共安排3个活动，（上午2个下午1个，或上午1个下午2个）分配给甲，乙，故有A62A41A21＝240
第三类，上下午共安排2个活动，（上午1个，下午1个）分配给甲，乙，故有A62＝30种，
根据分类计数原理，共有360+240+30＝630种．
2.(2021•河南开封三模•理T6)（a﹣x）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B．
【解析】∵（a﹣x）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，
设f（x）＝（a﹣x）（x+1）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a6x7，
令x＝1，则f（1）＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝（a+1）（1﹣1）5＝64（a﹣1），①
令x＝﹣1，则f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②
①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，
解得a＝3．
3.(2021•河南焦作三模•理T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（　　）
A．24种 B．36种 C．48种 D．64种
【答案】B．
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，
若甲乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有C32种分组方法，
若甲乙两人与另外一人在同一组，有C31种分组方法，
则有C31+C32＝6种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应A、B、C三个小区，有A33＝6种情况，
则有6×6＝36种不同的派遣方案．
4.(2021•河北张家口三模•T7)（x+2y﹣3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（　　）
A．﹣32 B．﹣16 C．10 D．64
【答案】A．
【解析】在（x+2y﹣3z）7的展开式中，通项公式为．
若展开式中的项不含y，则r＝65展开式中的所有项．
令x＝z＝1，得这些项的系数之和为（﹣3）5＝﹣32．
5.(2021•江西上饶三模•理T10．)现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各1本书，把这6本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里，则不同的放法总数为（　　）
A．78 B．126 C．148 D．150
【答案】D．
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将6本书分为3组，要求语文和数学在同一组，
若分为2、2、2的三组，有C42＝3种分组方法，
若分为3、2、1的三组，有C41+C41C32＝16种分组方法，
若分为4、1、1的三组，有C42＝6种分组方法，
则有3+16+6＝25种分组方法；
②将分好三组全排列，放入三个不同的抽屉，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种安排方法．
6.(2021•重庆名校联盟三模•T5．)已知（2x2+1）（﹣1）5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．9 D．10
【答案】C．
【解析】（2x2+1）（）5开式中各数和为3（a﹣1）5＝0，∴a＝1，
则（）5，即，它的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•x2r﹣10，
令2r﹣10＝﹣2，求得r＝4；令2r﹣10＝0，求得r＝5，
故（2x2+1）（）5＝（2x2+1）（﹣1）5的展开式中常数项是 2﹣＝9．
7.(2021•辽宁朝阳三模•T8．)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，
∴该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，
从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，
基本事件总数n＝＝36，
这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为：
m＝+＝26，
则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率P＝＝＝．
8.(2021•辽宁朝阳三模•T6．)下列各项中，是（）6展开式中的项为（　　）
A．15 B．﹣20x2 C．15y4 D．﹣20
【答案】C．
【解析】（）6展开式的通项公式为Tr+1＝＝（﹣1）r，
由＝0且＝0，此时r无解，故展开式中没有常数项，故A错误；
由＝2且＝0，此时r无解，故展开式中不含x2项，故B错误；
由＝0且＝4，此时r＝2，故T3＝（﹣1）2y4＝15y4，故C正确；
由＝0且＝，此时r无解，故展开式中不含项，故D错误．
9.(2021•湖南三模•T9．)在（3x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（　　）
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为﹣135 D．常数项为135
【答案】ABD．
【解析】（3x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为 2n+2n＝128，∴n＝6，故二项式系数和为26＝64，二项式系数和之和为 2n＝26＝64，故A、B正确；
故展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•36﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，
故常数项为•32＝135，故D正确．
10.(2021•福建宁德三模•T7)《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给右图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为( )
A. 36 B. 48 C. 72 D. 96
【答案】C．
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①对于区域ABE，三个区域两两相邻，有A43=24种涂色的方法，
②对于区域CD，若C区域与A颜色相同，D区域有2种选法，
若C区域与A颜色不同，则C区域有1种选法，D区域也只有1种选法，
则区域CD有2+1=3种涂色的方法，
则有24×3=72种涂色的方法，
故选：C.
根据题意，分2步依次分析区域ABE和区域CD的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案。
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题。
11.(2021•安徽宿州三模•理T6．)新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知．某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施．高三年级一层楼有A、B、C、D、E、F六个班排队吃饭，A班必须排在第一位，且D班、E班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（　　）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
【答案】C．
【解析】根据题意，A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置即可，
分2步进行分析：
①将BCF三个班级全排列，排好后有4个空位，有A33＝6种排法，
②在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有A42＝12种排法，
则有6×12＝72种不同的方案．
12.(2021•安徽宿州三模•理T7．)（x+2y）（2x+y）5的展开式中x3y3项的系数为（　　）
A．80 B．160 C．200 D．240
【答案】C．
【解析】（x+2y）（2x+y）5＝（x+2y）（•（2x）5+•（2x）4y+•（2x）3y2+•（2x）2y3+•（2x）•y4+•y5），
故展开式中x3y3项的系数为•22+2•23＝200．
13.(2021•安徽马鞍山三模•理T6．)的常数项为25，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】D．
【解析】（2x﹣1）6的展开式的通项公式为Tr+1＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣r，
所以的常数项为（﹣1）5•2•a+（﹣1）6•20＝﹣12a+1＝25，
解得a＝﹣2．
14.(2021•河北邯郸二模•理T6．)（x2﹣x）（1+x）6的展开式中x3项的系数为（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣21 D．21
【答案】A．
【解析】因为根据（1+x）6展开式的通项Tr+1＝，
所以（x2﹣x）（1+x）6的展开式中x3项为＝﹣9x3，
所以含x3项的系数﹣9．
15.(2021•河北秦皇岛二模•理T10．)已知（2﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则下列选项正确的是（　　）
A．a3＝﹣360
B．（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2＝1
C．a1+a2+…+a6＝（2﹣）6
D．展开式中系数最大的为a2
【答案】BD．
【解析】令x＝0得a0＝26，
令x＝1得a0+a1+a2+…+a6＝（2﹣）6，
则a1+a2+…+a6＝（2﹣）6﹣26，故C错误，
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝（2+）6，
则（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2＝（a0+a1+a2+…+a6）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6）＝（2﹣）6（2+）6＝[（2﹣）（2+）]6＝1，故B正确，
a3＝23（）3＝﹣480，故A错误，
展开式中偶数项系数为负值，奇数项系数为正值，
则系数最大的在a0，a2，a4，a6中，
展开式的通项公式Tk+1＝26﹣k（x）k，
则a2＝720，a4＝540，a6＝27，
则系数最大的为a2．
16.(2021•辽宁朝阳二模•T6．)今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（　　）
A．15 B．30 C．6 D．9
【答案】D．
【解析】根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，
则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，
则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9．
17.(2021•山东潍坊二模•T4．)2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（　　）
A．14 B．48 C．72 D．120
【答案】D．
【解析】根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，
在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有A53＝60种安排方法，
则有2×60＝120种不同的安排方法．
18.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T8．)某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（　　）
A．90 B．216 C．144 D．240
【答案】B．
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，有C52﹣1＝9种分组方法，
②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，有A44＝24种安排方法，
则有9×24＝216种安排种数．
二、填空题部分
19.(2021•山东潍坊二模•T13．)设（x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1+a2+a3+a4＝　　．
【答案】15．
【解析】∵（x+1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x＝1得：24＝16＝a0+a1+a2+a3+a4，
令x＝0得：1＝a0，∴a1+a2+a3+a4＝16﹣1＝15．
20.(2021•辽宁朝阳二模•T13．)在（x﹣2y+z）7的展开式中，所有形如xaybz2（a，b∈N）的项的系数之和是　　．
【答案】﹣21．
【解析】因为（x﹣2y+z）7＝[（x﹣2y）+z]7，
所以展开式中含z2的项为C，
令x＝y＝z＝1，则所求系数之和为C•（1﹣2）5•12＝﹣21．
21.(2021•广东潮州二模•T13．)（x﹣）6的展开式的常数项是　　．用数字作答）．
【答案】﹣20．
【解析】（x﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，
令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式的常数项为•（﹣1）＝﹣20．
22.(2021•广东潮州二模•T15．)根据中央关于精准脱贫的要求，我市农业经济部门随机派遣4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则专家派遣的方法的种数为　　．
【答案】36．
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将4位专家分为3组，有C42＝6种分组方法，
②将分好的三组全排列，分到3个县区进行调研，有A33＝6种情况，
则有6×6＝36种派遣方法．
23.(2021•天津南开二模•T11．)的二项展开式中，x3的系数等于　　．
【答案】15．
【解析】的二项展开式的通项公式为Tr+1＝＝（﹣1）r，令6﹣r＝3且，解得r＝2，所以x3的系数等于（﹣5）2＝15．
24.(2021•浙江卷•T13) 已知多项式，则___________，___________.
【答案】(1). ; (2)..
【解析】，，
所以，，
所以.故答案为：.
25.(2021•江苏盐城三模•T13)文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有种．
【答案】185．
【考点】排列组合
【解析】由题意，可用间接法，总体情况为从12个景区中选3个景区，从7个非传统红色旅游景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有－＝185．
26.(2021•河南郑州三模•理T14)展开式中的a与b指数相同的项的表达式为　　．
【答案】﹣84a．
【解析】展开式的通项公式为Tr+1＝C＝C，令6﹣，解得r＝3，
所以展开式中的a与b指数相同的项的表达式为C＝﹣84a．
27.(2021•四川内江三模•理T14．)二项式（2x2﹣）6的展开式中的常数项是　　．（用数字作答）
【答案】60．
【解析】（2x2﹣）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•27﹣r•x12﹣3r，
令12﹣3r＝6，求得r＝4•22＝60．
28.(2021•上海嘉定三模•T8．)展开式中的常数项为　﹣19　．
【答案】﹣19．
【解析】依题意，（1﹣x）6展开式的通项是，
当r＝0时，；
当r＝3时，，
∴展开式的常数项是．
29.(2021•四川泸州三模•理T13．)（x+1）（x﹣1）6展开式中x3项的系数为　　．
【答案】﹣5．
【解析】由题意可得展开式中含x3项为x+1＝（15﹣20）x3＝﹣5x3．
30.(2021•江苏常数三模•T13．)的展开式中常数项为　．
【答案】﹣7．
【解析】∵（1+x）4展开式的通项公式为Tr+1＝xr，
故令r＝0，1，可得展开式中常数项为+×（﹣2）＝﹣7．
31.(2021•福建宁德三模•T14) 已知(a+1x)(1+x)5展开式中的所有项的系数和为64，则实数a=______ ；展开式中常数项为______ .
【答案】1 ；6．
【解析】解：令x=1，可得(a+1x)(1+x)5展开式中的所有项的系数和为32(a+1)=64，则实数a=1.展开式中常数项为a×C50+C51=1+5=6，故答案为：1；6.
由题意令x=1，可得二项式的各项系数和，求出a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，求二项式的各项系数和，二项展开式的通项公式，属于中档题．
32.(2021•江西九江二模•理T14．)（2x﹣）6展开式中常数项为　　（用数字作答）．
【答案】60．
【解析】（2x﹣）6展开式的通项为＝．令得r＝4．
故展开式中的常数项．
33.(2021•浙江杭州二模•理T12．)已知（x+a）3（x+1）4的展开式中所有项的系数之和为16，则a＝　　，x4项的系数为　　．
【答案】0；4．
【解析】已知（x+a）3（x+1）4的展开式中所有项的系数之和为16（1+a）3＝16，则a＝0．故知（x+a）3（x+1）4＝x3（x+1）4，故x4项的系数为＝4．
34.(2021•江西上饶二模•理T14．)若（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a2+a3+…+a7＝　　．
【答案】2．
【解析】∵（2x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，
∴令x＝0，得a0＝﹣1；
令x＝1，则a0+a1+a2+a3+…+a7＝1，
∴a1+a2+a3+…+a7＝2．