初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称第2课时教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称第2课时教学设计，共6页。


通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．
重点难点
重点：等腰三角形的判定定理及其应用．
难点：探索等腰三角形的判定定理．
教学方法
讲练结合法．
教具准备
多媒体课件、投影仪．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？
[生甲]等腰三角形的两底角相等．
[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
[师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们看下面的问题并讨论：
思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
[生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB，所以两船能同时赶到出事地点．
[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要，也就是∠A如果不等于∠B，那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点．
[师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
[生丙]我想它们所对的边应该相等．
[师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明．
[生丁]我是运用三角形全等来证明的．
（投影仪演示了同学证明过程）
[例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．
求证：AB=AC．
证明：作∠BAC的平分线AD．
在△BAD和△CAD中，

∴△BAD≌△CAD（AAS）．
∴AB=AC．
[师]太好了．从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形．这个结论也回答了我们一开始提出的问题．也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形．
（演示课件）
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用．
（演示课件）
[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
[师]这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．
已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB=AC．
[师]同学们先思考，再分析．
[生]要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C．
[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好!
[生]接下来，可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系．
[师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据．
（演示课件，括号内部分由学生来填）
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
[师]看大屏幕，同学们试着完成这个题．
（课件演示）
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．
求证：AB=AD．
（投影仪演示学生证明过程）
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD（等角对等边）．
[师]下面来看另一个例题．
（演示课件）
[例3]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？

[师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．
解：选取比例尺为1:100（即为1 cm代表1 m）．
（1）作线段DE=4 cm；
（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
（3）在MN上截取BC=2.5 cm；
（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．
[师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本练习1、2、3．
如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
答案：∠1=72°，∠2=36°．
等腰三角形有：△ABC、△ABD、△BCD．
2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
答案：是等腰三角形．因为，如图可证∠1=∠2．
3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．
答案：
证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B．
又∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D．
∴∠C=∠D．
∴OC=OD（等角对等边）．
（二）补充练习：
如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形．
（2）求∠BAD的度数．
答案：
（1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠ACD=90°．
又∵AC=AC，BC=CD，
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）解：由（1）可知AB=AD，
∴∠B=∠D．
又∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
AC=CD．
∴∠D=∠DAC（等边对等角）．
在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°，
∴2（∠BAC+∠DAC）=180°．
∴∠BAC+∠DAC=90°，
即∠BAD=90°．
（鼓励学生思考其他解法）
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．
Ⅴ．课后作业
（一）课本习题13.3 第2、4、5、9、13题．
（二）预习课本．
Ⅵ．活动与探究
[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等．
过程：利用等腰三角形的性质即等边对等角，全等三角形的判定及性质．
结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，
∴△BDC≌△CEB（ASA）．
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．
[探究2]等腰三角形两腰上的高相等．
过程：同探究1．
结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高．
求证：BE=CF．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
又∵BE、CF分别是△ABC的高，
∴∠BFC=∠CEB=90°．
在△BFC和△CEB中，
∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB，
∴△BFC≌△CEB（AAS）．
∴BE=CF．
[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等．
过程：同探究1．
结果：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线．
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
又∵CD=AC，BE=AB，
∴CD=BE．
在△BEC和△CDB中，
∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，
∴△BEC≌△CDB（SAS）．
∴BD=CE．
板书设计
一、等腰三角形的判定定理──等角对等边
二、等腰三角形判定定理的应用
三、随堂作业
四、课时小结
五、课后作业
备课资料
墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如下图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点．如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的．你能说明其中的道理吗？
答案：根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC（即木条），如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的．根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．