数学人教版新课标A3.1.1方程的根与函数的零点授课ppt课件

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1．方程的根与函数的零点(1)函数零点的概念．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫函数y＝f(x)的零点．函数的零点是一个实数．
(2)方程的根与函数零点的关系．求函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判断如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
1．函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？提示：函数的零点不是点，而是对应方程的根；并不是任何函数都有零点，如函数y＝x2＋x＋1就没有零点．2．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)>0，在区间(a，b)上就没有零点吗？
提示：当f(a)f(b)<0时，则在(a，b)上一定有零点，但不一定说明有几个，可以有若干个，至少有一个．但并不是说当f(a)f(b)>0时，在(a，b)上就没有零点，当f(a)f(b)>0时，(a，b)上亦可能有零点．并且当f(a)f(b)<0时，(a，b)上也不一定只有一个零点，若另有f(x)在(a，b)上单调，可说明f(x)在(a，b)上有一个零点．
2．函数y＝x2－3x＋1的零点个数是(　　)A．0 B．1C．2 D．不确定答案：C3．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上(　　)A．至少有三个零点 B．可能有两个零点C．没有零点 D．必有唯一的零点答案：D
4．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)A．a<1 B．a>1C．a≤1 D．a≥1解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，故判别式Δ＝4－4a<0，解得a>1.答案：B
5．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数所有零点之和为__________．解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)的零点也关于y轴对称，∴即零点之和为0.答案：0
类型一　函数零点的概念及求法[例1]　求函数y＝－x2－2x＋3的零点，并指出y>0，y<0时，x的取值范围．
[解]　如图1所示，解二次方程－x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1，∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3,1.y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当－30；当x<－3或x>1时，y<0.∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3,1.
当y>0时，x的取值范围是(－3,1)；当y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．[点评]　函数的零点即对应方程的根．本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2＋bx＋c>0(<0)的解集，体现了数形结合的思想方法．
变式体验1　(1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a、b的值．(2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
类型二　　函数零点的判断[例2]　判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝lg2(x＋2)－x，x∈[1,3]．[分析]　零点的存在性判断可依据零点的存在性定理，有时也可以结合图象进行判断．
[解]　(1)法1：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝64－24－18＝22>0.∴f(1)·f(8)<0，∴f(x)在[1,8]内存在零点．法2：令x2－3x－18＝0，得x＝6或x＝－3.又6∈[1,8]．∴函数f(x)在[1,8]内存在零点．(2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝8－2－1＝5>0，∴f(－1)·f(2)<0，∴函数f(x)在[－1,2]内存在零点．
变式体验2　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解：解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个实根．解法2：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
点评：判断函数零点个数的方法主要有：①用计算器或计算机计算并描点作出函数f(x)＝g(x)－h(x)的图象，由图象、函数的单调性及零点的判断方法作出判定，如本例法一；②由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的叠合图，利用图象判定方程根的个数，如本例法二；在实际运用中，大多数选用法二．
类型三　　函数零点的应用[例3]　函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，求p的取值范围．[分析]　二次函数的零点即函数图象与x轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究．
[解]　解法1：记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在(1,0)的左方，另一个在(1,0)的右方，∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0.∴p<－1.∴p的取值范围为(－∞，－1)．
变式体验3　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的值．分析：设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数的性质加以限制，通过解不等式组来解决．
1．对于函数零点的概念，应注意以下几点问题：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
2．对函数零点的判定定理的理解(1)函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就是说，当函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，而不是只有一个，即方程f(x)＝0在(a，b)上至少有一个根．例如，如图4(1)所示，f(x)＝x3－3x2＋2x，有f(－1)＝－6<0，f(3)＝6>0，但f(x)＝0在(－1,3)内有三个根：x1＝0，x2＝1，x3＝2.