人教版 (新课标)选修3第十章 热力学定律综合与测试导学案

专题12  机械振动（学生版）

一、目标要求

二、知识点解析

1．简谐运动的描述

(1)机械振动

物体在某一位置两侧所做的往复运动，叫做机械振动．

(2)简谐运动

弹簧振子是小球和弹簧组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，忽略弹簧质量以及小球与杆之间的摩擦作用，小球所受回复力与位移满足下面的关系，对于弹簧振子，k为劲度系数．满足这种关系的振动叫做简谐运动．

(3)简谐运动的全振动、振幅、周期和频率

①全振动：一个完整的振动过程，称为一次全振动．不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是一样的．

②振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅，用字母A表示．在国际单位制中，振幅的单位是米（m）．振幅是表示振动强弱的物理量．

③周期：做简谐运动的物体完成一次全振动的时间为振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒（s）．弹簧振子运动的周期公式．

④频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示．常把物体在1s内完成全振动的次数叫做频率．在国际单位制中频率的单位是赫兹（Hz）．频率表示物体振动快慢的物理量．周期与频率的关系．

(4)振动图象

①振动图象的横坐标是振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移，如图2所示，也称为x-t图象．

②简谐运动的表达式：

a．式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动的时间．A表示振动质点的偏离平衡位置的最大距离，即振幅．

b．ω叫做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动的物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系是．

c．φ表示t=0时，简谐运动的质点所处的状态，称为初相位或初相．ωt+φ代表了简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表了简谐运动的相位．图2所示的振动图象就是φ=0的情形．

2．简谐运动的能量和运动特征

(1)简谐运动的能量

简谐运动中系统的动能和势能之和称为简谐运动的能量，即．弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程机械能守恒．如图3．

(2)简谐运动的运动特点

根据图4，可总结出简谐运动的位移x、回复力F=kx、加速度a、速度v、势能Ep和动能Ek随着振子在O→M→O→N→O之间的变化规律．势能和动能的变化与图3一致．位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反．弹簧振子运动存在两个转折点：平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点，最大位移处是速度方向变化的转折点．还可以比较出两个过程，即向平衡位置O靠近的过程和远离平衡位置O的过程的不同特点：靠近O点时速度变大，远离O点时位移、加速度和回复力变大．

3．单摆

单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想化模型．如图5，摆球释放后，可以在圆弧间往复运动，当摆角小于5°时，可认为单摆做简谐运动．

①单摆的回复力：单摆做简谐运动的回复力由重力沿切线方向的分力 提供．如图6，

当θ很小时，圆弧近似可以看成直线，分力F可以近似地看做沿这条直线作用，这时结合三角函数关系可以计算出：.

由此可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比，而方向相反，是简谐运动．

②单摆周期公式：弹簧振子运动的周期公式．根据②可知，，代入即得:

式中，l为悬点到摆球球心的距离，g为当地的重力加速度．

③秒摆：周期为2s的单摆叫做秒摆．由单摆周期公式得，秒摆的摆长．也就是说，摆长为1m的单摆就是周期为2s的秒摆．

4．外力作用下的振动

(1)自由振动

回复力是系统内部的相互作用力．只在回复力作用的简谐运动就是自由振动．

(2)阻尼振动

受到摩擦力或其他阻力，系统克服这样的的力的阻尼作用需要消耗机械能，因而振幅逐渐减小，最后停下来．如图7所示．

(3)受迫振动

如果系统受到周期性的外力的作用，就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统持续地振动下去．这种周期性的外力叫驱动力．系统在驱动力作用下的振动叫受迫振动．

(4)共振

系统做受迫振动时，如果驱动力的频率可以调节，把不同频率的驱动力先后作用于同一个振动系统，其受迫振动的振幅将不同，如图8所示．

在不存在阻尼作用时，驱动力的频率f接近系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅显著增大，这种现象叫做共振．

5．实验：利用单摆测量当地重力加速度

(1)实验原理：利用单摆周期公式，整理得，若能测到单摆的摆长和周期，即可测到当地的重力加速度；

(2)实验器材：米尺、秒表；铁架台、细线、有小孔的小球

(3)实验步骤：

①让细线的一端穿过摆球的小孔，然后打一个比小孔大的线结，线的另一端用铁夹固定在铁架台上，如图所示，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂；

②用米尺多次测量悬线长度，求出悬线的平均长度l'；用游标卡尺多次测量摆球的直径，并求出直径的平均值d，则摆长；

③将摆球拉开一个角度（不超过5°）后静止释放，从摆球经过平衡位置时开始计时，数出摆球经过平衡位置的次数n，用秒表记录下所用的时间t，则单摆周期；

④利用单摆周期公式求出重力加速度；

⑤改变摆长，重做几次实验，计算出每次得到的重力加速度值；

⑥利用多组数据求出重力加速度的平均值．

(4)注意事项：

①实验过程中每次的摆长尽量稍大一些，使单摆的周期较大，记录全振动的时间时可以减小实验误差；

②所选小球应质量大但体积小，以减小空气阻力的影响；

③释放摆球时不要旋转，避免摆球不在同一平面内做简谐运动；

④记录时间时应从平衡位置开始计时．

(5)数据处理：

①平均值法：多次实验测得多组重力加速度的值，利用平均值法求得重力加速度

②图像法：建立以T2为纵坐标、l为横坐标的直角坐标系，如图所示，将多次改变摆长而测到的数据标注在图像中，并用直线连接这些点，保证尽可能多的点分布在直线两侧，舍去较远的点．

利用直线的斜率可求得重力加速度．

(6)误差和错误分析：

①实验过程中将悬线的长度当作摆长，导致所测l偏小，则测得的重力加速度偏小；

②实验过程中将悬线长度加上摆球直径当作摆长，导致所测l偏大，则测得重力加速度偏大；

③数错摆球做全振动的次数，导致所测周期偏大或偏小，则测得重力加速度偏小或偏大；

④摆球摆动过程中，铁夹松动导致悬线长度增大，根据可知周期将大于之前所测摆长下的周期，使得测得的重力加速度偏小；

在①和②的情况下，利用图像法处理数据仍然能得到正确的结果．如图所示，a表示正确数据下所描绘的图线，b表示少加摆球半径时所描绘的图线，c表示多加摆球半径时所描绘的图线．

三、考查方向

题型1：描述简谐运动的物理量

典例一：如图所示，弹簧振子在B、C两点间做简谐振动，B、C间距为10 cm，O是平衡位置，振子每次从C运动到B的时间均为0.5 s，则该弹簧振子(   )

A．振幅为10 cm

B．周期为2 s

C．频率为1 Hz

D．从O点出发到再次回到O点的过程就是一次全振动

题型2：简谐运动图像的应用

典例二：（2014•上海二模）一质点作简谐振动的图象如图所示，则该质点　　

A．在0至内，速度与加速度反向 

B．在至内，速度与回复力同向 

C．在时刻，速度与加速度均为正值 

D．在时刻，速度最大，回复力最大

题型3：单摆及其周期的计算

典例三：（2019全国理综II卷34）如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是_____。

题型4：受迫振动及共振

典例四：（2016•江苏一模）如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中、的摆长相等。当摆振动的时候，通过张紧的绳子给、、摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动。观察、、摆的振动发现　　

A．摆的频率最小 

B．摆的周期最大 

C．摆的摆角最大 

D．、、的摆角相同

题型5：实验：单摆测量重力加速度

典例五：（2015•北京）用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。

（1）组装单摆时，应在下列器材中选用　　（选填选项前的字母）。

．长度为左右的细线

．长度为左右的细线

．直径为的塑料球

．直径为的铁球

（2）测出悬点至小球球心的距离（摆长）及单摆完成次全振动所用的时间，则重力加速度      　 　（用、、 表示）。

（3）如表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。

请计算出第3组实验中的　 　，　 　。

（4）用多组实验数据做出图象，也可以求出重力加速度，已知三位同学做出的图线的示意图如图2中的、、所示，其中和平行，和都过原点，图线对应的值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线，下列分析正确的是　 　（选填选项前的字母）。

．出现图线的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长

．出现图线的原因可能是误将49次全振动记为50次

．图线对应的值小于图线对应的值

（5）某同学在家里测重力加速度，他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图3所示，由于家里只有一根量程为的刻度尺，于是他在细线上的点做了一个标记，使得悬点到点间的细线长度小于刻度尺量程。保持该标记以下的细线长度不变，通过改变、间细线长度以改变摆长。实验中，当、间细线的长度分别为、时，测得相应单摆的周期为、．由此可得重力加速度　 　（用、、、表示）。

四、模拟训练

一、基础练习

1.关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是(   )

A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置

B．机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移

C．机械振动的物体运动的路程越大发生的位移也越大

D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移

2.在水平杆上振动的弹簧振子，如图所示，O是平衡位置，B和C是最大位移处，不计小球与杆间的摩擦，则下列说法不正确的是(   )

A．每次经过O点时的动能相同

B．从B到O的过程中加速度不断增加

C．从B到O的过程中速度不断增加

D．从B到O的过程中速度与位移的方向相反

3.如图所示，小球连接着轻质弹簧，放在光滑水平面上，弹簧的另一端固定在墙上，点为它的平衡位置，把拉到点，使，轻轻释放，经小球运动到点。如果把拉到点，使，则释放后小球这一次运动到点所需的时间为　　

A． B． C． D．

4.如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO=OC=5 cm，若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是(   )

A．振子从B经O到C完成一次全振动

B．振动周期是1 s，振幅是10 cm

C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm

D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm

5.如图为一弹簧做简谐运动的振动图象，在如图所示的时间范围内，下列判断正确的是(   )

A．弹簧的振动周期为0.9 s，振幅为4 cm

B．0.2 s时的位移与0.4 s时的位移相同

C．0.2 s时的回复力与0.4 s时的回复力相同

D．0.2 s时的速度与0.4 s时的速度相同

6.如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示。由振动图象可以得知　　

A．振子的振动周期等于 

B．在时刻，振子的位置在点 

C．在时刻，振子的速度为零 

D．从到，振子正从点向点运动

7.某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为，则下列关于质点运动的说法中正确的是　　

A．质点做简谐运动的振幅为    B．质点做简谐运动的周期为 

C．在时质点的速度最大     D．在时质点的加速度最大

8.做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，下列说法正确的是(   )

A．在时间内，振子所经过的路程一定是2A 

B．在时间内，振子所经过的路程一定不是2A 

C．在相隔的两个时刻，振子的速度一定相同 

D．在相隔两个时刻，振子的速度一定不相同

9.弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离是8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则(   )

A．振子的振动周期是2 s，振幅是8 cm

B．振子的振动频率是2 Hz

C．振子完成一次全振动通过的路程是32 cm

D．从振子通过任意点开始计时，2.5 s内通过的路程可能大于20 cm

10.图中点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的、之间来回摆动，点为运动中的最低位置，则在摆动过程中　　

A．摆球在点和点处，速度为零，合力也为零 

B．摆球在点和点处，速度为零，回复力也为零 

C．摆球在点处，速度最大，回复力也最大 

D．摆球在点处，速度最大，细线拉力也最大

11.一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的竖直线上的O′点钉一个钉子，使OO′=，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则此摆的周期是(   )

A．2π       

B．2π       

C．2π()   

D．π()

12.一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，则(   )

A．此单摆的固有周期约为0.5 s

B．此单摆的摆长约为1 m

C．若摆长增大，单摆的固有频率增大

D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动

13.如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率之间的关系图线，由图可知(   )

A．振子振动频率为f1时，它处于共振状态 

B．驱动力频率为f3时，振子振动频率为f3 

C．若撤去驱动力让振子做自由振动，频率是f3 

D．振子做自由振动的频率可以为f1、f2、f3 

14.在“用单摆测定重力加速度”的实验中，

(1)以下关于本实验的措施中正确的是　___　(选填下列选项前的序号)

A．摆角应尽量大些

B．摆线应适当长些

C．摆球应选择密度较大的实心金属小球

D．用停表测量周期时，应取摆球摆至最高点时开始计时

(3)若该同学测量了5种不同摆长与单摆振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图所示的坐标中，图中每个坐标点的标号分别对应实验中5种不同摆长的情况．在处理数据时，该同学实验中的第　  　组数据点应当舍弃．请你在图中画出T2﹣l图线；

(4)该同学求重力加速度时，他首先求出了(3)中T2﹣l图线的斜率k，则利用率k求重力加速度的表达式为g=　_________　．

15.在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中

（1）安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径，测量的示数如图1所示，则摆球直径　　，再测量摆线长，则单摆摆长　  　（用、表示）；

（2）摆球摆动稳定后，当它到达　  　（填“最低点”或“最高点” 时启动秒表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数、2、，当时刚好停表。停止计时的秒表如图2示，其读数为　 　，该单摆的周期为　  　（周期要求保留三位有效数字）；

（3）计算重力加速度测量值的表达式为　 　（用、表示），如果测量值小于真实值，可能原因是　　；

．将摆球经过最低点的次数计少了

．计时开始时，秒表启动稍晚

．将摆线长当成了摆长

．将摆线长和球的直径之和当成了摆长

（4）正确测量不同摆及相应的单摆周期，并在坐标纸上画出与的关系图线，如图3示。由图线计算出重力加速度的大小　　．（保留3位有效数字，计算时取

二、提升练习

1.（2019·江苏·多选）一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的（   ）．

A. 位移增大      B. 速度增大          C. 回复力增大      D. 机械能增大

2.(2017·上海)做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的(　　)

A.周期不变，振幅不变   

B.周期不变，振幅变小 

C.周期改变，振幅不变   

D.周期改变，振幅变大

3.（2017•北京）某弹簧振子沿轴的简谐振动图象如图所示，下列描述正确的是　　

A．时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 

B．时，振子的速度为负，加速度为正的最大值 

C．时，振子的速度为负的最大值，加速度为零 

D．时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

4.（2016北京高考理综）如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴。向右为x的轴的正方向。若振子位于N点时开始计时，则其振动图像为（   ）

5.（2016·海南·多选）下列说法正确的是________________。

A. 在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比

B. 弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变

C. 在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小

D. 系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率

E. 已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向