2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷1

这是一份2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷1，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

2. 在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A.16B.13C.12D.23

3. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）

A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换

4. 验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
A.y=100xB.y=x100C.y=400xD.y=x400

5. 已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）
A.相离B.相切C.相交D.无法确定

6. 二次函数y=(x−1)2+3图象的顶点坐标是( )
A.(1, 3)B.(1, −3)C.(−1, 3)D.(−1, −3)

7. 用配方法解一元二次方程x2−4x+1=0时，下列变形正确的是( )
A.(x−2)2=1B.(x−2)2=5C.(x+2)2=3D.(x−2)2=3

8. 如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1, 2)，B(3, 3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（ ）

A.(2, −1)B.(1, −2)C.(−2, 1)D.(−2, −1)

9. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4:9，则OB′:OB为( )

A.2:3B.3:2C.4:5D.4:9

10. 指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y＝kx与y=kx(k≠0)在同一坐标系中的图象（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题（将解答过程写在答题卡上指定的位置本大题共5小题，每小题3分，计15分）

已知反比例函数的图象如图所示，则k < 0，且在图象的每一支上，y随x的增大而________．


如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为________．


若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，则a 0(填“=”或“>”或“<”)．

如图，点P是等边三角形ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P′AC，则∠PAP′的度数为________．


如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是23cm，则这个正六边形的周长是________．

三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9小题，计75分．）

解方程：x2−3x−2＝3(23−x)

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，请你求出小河的宽度是多少米？


如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120∘，若将此扇形围成一个圆锥，则：

（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？

（2）求出该圆锥的底面半径是多少？

已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2=kx(x<0)分别交
于点C、D，且C点的坐标为(−1, 2)．

（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；

（2）求出点D的坐标；

（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1
为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：
(1)本次抽样调查了多少户贫困户？

(2)抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；

(3)若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？

(4)为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若DE=3，∠C=30∘，求AD的长.

某商家为了让手机销量更好，更能吸引大家来购买，商家实施一定程度的让利促销活动，手机的销量分别出现不同程度的增长，A品牌手机的销量每月都比上个月多卖100台，而B品牌的手机的销量每月均按照一个相同的百分数增长，十月份A品牌手机的销量比B品牌的手机销量少360台，十一月份两种手机的总销量比十月份的总销量多200台，十二月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多25%．
（1）求B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多多少台？

（2）求B品牌的手机十月份的销量是多少台？

在△ABC中，∠A＝90∘，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN // BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；

（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

如图1，已知抛物线的顶点为A(2, 1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

（3）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省宜昌市五峰县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项的字母代号涂填在答题卡上指定的位置.本大题共10小题，每小题3分，计30分）
1.
【答案】
C
【考点】
轴对称图形
中心对称图形
【解析】
据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
【解答】
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
2.
【答案】
A
【考点】
概率公式
【解析】
直接利用概率公式计算可得．
【解答】
从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，
3.
【答案】
B
【考点】
几何变换的类型
【解析】
根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【解答】
解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，
所以属于相似变换．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
反比例函数的应用
根据实际问题列反比例函数关系式
【解析】
直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解答】
解：由表格中数据可得：xy=100，
故y关于x的函数表达式为：y=100x．
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
由直线和圆的位置关系：r>d，可知：直线和圆相交．
【解答】
半径r＝5，圆心到直线的距离d＝3，
∵ 5>3，即r>d，
∴ 直线和圆相交，
6.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
【解析】
由抛物线顶点式可求得答案．
【解答】
解：∵ y=(x−1)2+3，
∴ 顶点坐标为(1, 3).
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
移项，配方，即可得出选项．
【解答】
解：x2−4x+1=0，
x2−4x=−1，
x2−4x+4=−1+4，
(x−2)2=3.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
作图-旋转变换
作图-轴对称变换
菱形的判定与性质
【解析】
根据题意可以写出点C的坐标，然后根据与y轴对称和与原点对称的点的特点即可得到点C″的坐标，本题得以解决．
【解答】
∵ 点C的坐标为(2, 1)，
∴ 点C′的坐标为(−2, 1)，
∴ 点C″的坐标的坐标为(2, −1)，
9.
【答案】
A
【考点】
作图-位似变换
位似的性质
【解析】
先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【解答】
解：由位似变换的性质可知，A′B′ // AB，A′C′ // AC，
∴ △A′B′C′∽△ABC．
∵ △A′B′C′与△ABC的面积的比4:9，
∴ △A′B′C′与△ABC的相似比为2:3，
∴ OB′OB=23.
故选A.
10.
【答案】
B
【考点】
反比例函数的图象
正比例函数的图象
【解析】
根据题意，结合正比例函数、反比例函数的图象与系数的关系，分析选项可得答案．
【解答】
根据题意，
当k>0时，函数y＝kx经过一三象限，而y=kx(k≠0)的图象在一、三象限，
分析选项可得，只有B符合，
二、选择题（将解答过程写在答题卡上指定的位置本大题共5小题，每小题3分，计15分）
【答案】
增大
【考点】
反比例函数的性质
反比例函数的图象
【解析】
根据反比例函数的性质可得答案．
【解答】
∵ 图象在第二、四象限，
∴ k<0，且在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
【答案】
12
【考点】
几何概率
【解析】
首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
【解答】
∵ 圆被等分成6份，其中阴影部分占3份，
∴ 落在阴影区域的概率为12，
【答案】
<
【考点】
二次函数图象与系数的关系
【解析】
由二次函数y＝ax2+bx图象的开口向下，可得a<0．
【解答】
解：∵ 二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，
∴ a<0．
故答案为：<.
【答案】
60∘
【考点】
旋转的性质
等边三角形的性质
【解析】
根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60∘，再根据旋转的性质，旋转角＝∠PAP′＝∠BAC，从而得解．
【解答】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC＝60∘，
∵ △PAB绕点A逆时针旋转得到△P′AC，
∴ 旋转角＝∠PAP′＝∠BAC＝60∘．
【答案】
123cm
【考点】
正多边形和圆
【解析】
由正六边形的性质证出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB＝OA，即可得出答案．
【解答】
设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：
∵ O是正六边形ABCDEF的中心，
∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60∘，AO＝BO＝23cm，
∴ △AOB是等边三角形，
∴ AB＝OA＝23cm，
∴ 正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝123cm．
故答案为：123cm．
三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9小题，计75分．）
【答案】
x2−3x−2＝−3x+2，
x2＝4，
x＝±2，
x1＝2；x2＝−2．
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
利用因式分解法求解可得．
【解答】
x2−3x−2＝−3x+2，
x2＝4，
x＝±2，
x1＝2；x2＝−2．
【答案】
小河的宽度是210米
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度．
【解答】
∵ AB⊥BD，EC⊥BC，
∴ AB // CE，
∴ △ABD∽△ECD，
∴ ABCE=BDCD，即AB70=18060，
∴ AB＝210．
【答案】
圆锥的侧面积=120⋅π⋅62360=12π(cm2)；
该圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=120π⋅6180，
解得r＝2．
即圆锥的底面半径为2cm．
【考点】
圆锥的计算
【解析】
（1）根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算；
（2）根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式计算．
【解答】
圆锥的侧面积=120⋅π⋅62360=12π(cm2)；
该圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=120π⋅6180，
解得r＝2．
即圆锥的底面半径为2cm．
【答案】
把点C(−1, 2)代入y1＝x+m，
得：m＝3，
∴ 直线AB的解析式y1＝x+3；
把点C(−1, 2)代入y2=kx(x<0)，
得：k＝−2，
∴ 双曲线的解析式y2=−2x；
解y=x+3y=−2x 得x1=−1y1=2 ，x2=−2y2=1 ，
∴ D点的坐标为(−2, 1)；
∵ C(−1, 2)，D的坐标为(−2, 1)，
观察图形可知：当y1【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
（1）将C(−1, 2)分别代入直线y1＝x+m与双曲线y2=kx(x<0)，用待定系数法求得函数解析式．
（2）把一次函数和反比例函数的解析式联立方程，解方程即可求得；
（4）直线y1＝x+m图象在双曲线y2=kx(x<0)下方的部分时x的值，即为y1【解答】
把点C(−1, 2)代入y1＝x+m，
得：m＝3，
∴ 直线AB的解析式y1＝x+3；
把点C(−1, 2)代入y2=kx(x<0)，
得：k＝−2，
∴ 双曲线的解析式y2=−2x；
解y=x+3y=−2x 得x1=−1y1=2 ，x2=−2y2=1 ，
∴ D点的坐标为(−2, 1)；
∵ C(−1, 2)，D的坐标为(−2, 1)，
观察图形可知：当y1【答案】
解：(1)本次抽样调查的总户数为260÷52%=500（户）；
(2)抽查C类贫困户为500×24%=120（户），
补全图形如下：
(3)13000×(24%+16%)=5200（户），
估计至少得到4项帮扶措施的大约有5200户；
(4)画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为212=16．
【考点】
列表法与树状图法
概率公式
条形统计图
用样本估计总体
【解析】
（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；
（2）总数量乘以C对应百分比可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)本次抽样调查的总户数为260÷52%=500（户）；
(2)抽查C类贫困户为500×24%=120（户），
补全图形如下：
(3)13000×(24%+16%)=5200（户），
估计至少得到4项帮扶措施的大约有5200户；
(4)画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为212=16．
【答案】
(1)证明：连接OD；
∵ OD=OC，
∴ ∠C=∠ODC，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
∴ ∠B=∠ODC，
∴ OD // AB，
∴ ∠ODE=∠DEB；
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB=90∘，
∴ ∠ODE=90∘，
即DE⊥OD，
∴ DE是⊙O的切线.
(2)解：连接AD，
∵ AC是直径，
∴ ∠ADC=90∘，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C=30∘，
BD=CD，
∴ ∠OAD=60∘，
∵ OA=OD，
∴ △AOD是等边三角形，
∴ ∠AOD=60∘，
∵ DE=3，∠B=30∘，∠BED=90∘，
∴ CD=BD=2DE=23，
设AD=x，则AC=2x，
∴ AD2+CD2=AC2，即x2+12=4x2，
∴ x=2，即AD=2，
∴ OD=2，
∴ AD的长为：60π⋅2180=2π3.
【考点】
圆周角定理
弧长的计算
切线的判定与性质
等腰三角形的性质
平行线的判定与性质
【解析】
（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接AD，根据AC是直径，得到∠ADC＝90∘，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根据题意证得△AOD是等边三角形，即可OD＝AD，然后利用弧长公式求得即可．
【解答】
(1)证明：连接OD；
∵ OD=OC，
∴ ∠C=∠ODC，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C，
∴ ∠B=∠ODC，
∴ OD // AB，
∴ ∠ODE=∠DEB；
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB=90∘，
∴ ∠ODE=90∘，
即DE⊥OD，
∴ DE是⊙O的切线.
(2)解：连接AD，
∵ AC是直径，
∴ ∠ADC=90∘，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C=30∘，
BD=CD，
∴ ∠OAD=60∘，
∵ OA=OD，
∴ △AOD是等边三角形，
∴ ∠AOD=60∘，
∵ DE=3，∠B=30∘，∠BED=90∘，
∴ CD=BD=2DE=23，
设AD=x，则AC=2x，
∴ AD2+CD2=AC2，即x2+12=4x2，
∴ x=2，即AD=2，
∴ OD=2，
∴ AD的长为：60π⋅2180=2π3.
【答案】
B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多100台
B品牌的手机十月份的销量是1000台
【考点】
二元二次方程组
【解析】
（1）利用B品牌手机销售的增加量＝两种手机销售的总增加量−A品牌手机销售的增加量（十一月份比十月份的增加量），即可求出结论；
（2）设A品牌手机十月份销售量为x台，B品牌手机每月销量增长百分数为a，则B品牌手机十月份销售量为(x+360)台，根据“十一月份两种手机的总销量比十月份的总销量多200台，十二月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多25%”，即可得出关于x，a的二元二次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入(x+360)中即可求出结论．
【解答】
200−100＝100（台）．
答：B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多100台．
设A品牌手机十月份销售量为x台，B品牌手机每月销量增长百分数为a，则B品牌手机十月份销售量为(x+360)台，
依题意，得：x+200+(x+360)(1+a)2=(x+x+360)(1+25%)x+100+(x+360)(1+a)=200+x+x+360 ，
解得：x=640a=10% ，
∴ x+360＝1000．
答：B品牌的手机十月份的销量是1000台．
【答案】
∵ MN // BC，
∴ ∠AMN＝∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN∽△ABC．
∴ AMAB=ANAC，即x4=AN3；
∴ AN=34x；
∴ S＝S△MNP＝S△AMN=12⋅34x⋅x=38x2．(0如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO＝OD=12MN．
在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴ AMAB=MNBC，即x4=MN5，
∴ MN=54x
∴ OD=58x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ＝OD=58x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA，
∴ BMBC=QMAC，
∴ BM=5×58x3=2524x，AB＝BM+MA=2524x+x＝4
∴ x=9649，
∴ 当x=9649时，⊙O与直线BC相切；
随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵ MN // BC，
∴ ∠AMN＝∠B，∠AOM＝∠APB，
∴ △AMO∽△ABP，
∴ AMAB=AOAP=12，
∵ AM＝MB＝2，
故以下分两种情况讨论：
①当0∴ 当x＝2时，y最大=38×4=32，
②当2∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN // AM，PN＝AM＝x，
又∵ MN // BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形；
∴ FN＝BM＝4−x，
∴ PF＝x−(4−x)＝2x−4，
又∵ △PEF∽△ACB，
∴ (PFAB)2=S△PEFS△ABC，
∴ S△PEF=32(x−2)2；
y＝S△MNP−S△PEF=38x2−32(x−2)2=−98x2+6x−6，
当2∴ 当x=83时，满足2综上所述，当x=83时，y值最大，最大值是2．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；
（2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM＝2，因此可分两种情况进行讨论：
①当0【解答】
∵ MN // BC，
∴ ∠AMN＝∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN∽△ABC．
∴ AMAB=ANAC，即x4=AN3；
∴ AN=34x；
∴ S＝S△MNP＝S△AMN=12⋅34x⋅x=38x2．(0如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO＝OD=12MN．
在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴ AMAB=MNBC，即x4=MN5，
∴ MN=54x
∴ OD=58x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ＝OD=58x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA，
∴ BMBC=QMAC，
∴ BM=5×58x3=2524x，AB＝BM+MA=2524x+x＝4
∴ x=9649，
∴ 当x=9649时，⊙O与直线BC相切；
随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．
∵ MN // BC，
∴ ∠AMN＝∠B，∠AOM＝∠APB，
∴ △AMO∽△ABP，
∴ AMAB=AOAP=12，
∵ AM＝MB＝2，
故以下分两种情况讨论：
①当0∴ 当x＝2时，y最大=38×4=32，
②当2∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN // AM，PN＝AM＝x，
又∵ MN // BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形；
∴ FN＝BM＝4−x，
∴ PF＝x−(4−x)＝2x−4，
又∵ △PEF∽△ACB，
∴ (PFAB)2=S△PEFS△ABC，
∴ S△PEF=32(x−2)2；
y＝S△MNP−S△PEF=38x2−32(x−2)2=−98x2+6x−6，
当2∴ 当x=83时，满足2综上所述，当x=83时，y值最大，最大值是2．
【答案】
由题意可设抛物线的解析式为
y＝a(x−2)2+1
∵ 抛物线过原点，
∴ 0＝a(0−2)2+1，
∴ a=−14．
抛物线的解析式为y=−14(x−2)2+1，
即y=−14x2+x
如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，CD＝OB，
由0=−14(x−2)2+1得x1＝0，x2＝4，
∴ B(4, 0)，OB＝4．
由于对称轴x＝2
∴ D点的横坐标为6．
将x＝6代入y=−14(x−2)2+1，得y＝−3，
∴ D(6, −3)；
根据抛物线的对称性可知，
在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为(−2, −3)，
当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为(2, 1)
不存在．
如图2，由抛物线的对称性可知：AO＝AB，∠AOB＝∠ABO．
若△BOP与△AOB相似，必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点，显然A′(2, −1)
∴ 直线OP的解析式为y=−12x
由−12x=−14x2+x，得x1＝0，x2＝6．
∴ P(6, −3)
过P作PE⊥x轴，在Rt△BEP中，BE＝2，PE＝3，
∴ PB=13≠4．
∴ PB≠OB，
∴ ∠BOP≠∠BPO，
∴ △PBO与△BAO不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
所以在该抛物线上不存在点P，使得△BOP与△AOB相似．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）已知抛物线的顶点为A(2, 1)，设抛物线顶点式，把点O(0, 0)代入即可求解析式；
（2）依题意得CD // OB，CD＝OB＝4，又对称轴x＝2，故D点横坐标x＝6，代入抛物线解析式可求D点纵坐标，根据对称轴可求满足条件的点D′；
（3）根据抛物线对称轴可知AO＝AB，△AOB为等腰三角形，要使得△OBP与△OAB相似，则∠POB＝∠BOA，A与A′对称，可求直线OP的解析式，与抛物线解析式联立可求P点坐标，检验BP与OB是否相等．
【解答】
由题意可设抛物线的解析式为
y＝a(x−2)2+1
∵ 抛物线过原点，
∴ 0＝a(0−2)2+1，
∴ a=−14．
抛物线的解析式为y=−14(x−2)2+1，
即y=−14x2+x
如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，CD＝OB，
由0=−14(x−2)2+1得x1＝0，x2＝4，
∴ B(4, 0)，OB＝4．
由于对称轴x＝2
∴ D点的横坐标为6．
将x＝6代入y=−14(x−2)2+1，得y＝−3，
∴ D(6, −3)；
根据抛物线的对称性可知，
在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为(−2, −3)，
当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为(2, 1)
不存在．
如图2，由抛物线的对称性可知：AO＝AB，∠AOB＝∠ABO．
若△BOP与△AOB相似，必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点，显然A′(2, −1)
∴ 直线OP的解析式为y=−12x
由−12x=−14x2+x，得x1＝0，x2＝6．
∴ P(6, −3)
过P作PE⊥x轴，在Rt△BEP中，BE＝2，PE＝3，
∴ PB=13≠4．
∴ PB≠OB，
∴ ∠BOP≠∠BPO，
∴ △PBO与△BAO不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
所以在该抛物线上不存在点P，使得△BOP与△AOB相似．
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10