2021北京石景山高二（上）期末数学测试卷

2021北京石景山高二（上）期末

数    学

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 直线过点，倾斜角为，则直线的方程为

A．              B．

C．              D．

2．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为                       

A．      B．       C．      D．

3．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A．若则       B．若，，则

C．若，，则    D．若，，则

4. 两条平行线：，与：间的距离为           

A.          B.           C.            D．

5.在正方体中，为棱的中点，则

A．      B．       C．     D．

6．用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

A．24      B．48       C．60       D．72

7. 如图，在正方体中，分别为，，， 的中点，则异面直线与所成的角大小等于（　　）

A．    B．    C．   D．

8.直线与圆相切，则的值是

A．或     B．或    C．或     D．或

9.若圆与圆外切，则

A．    B．     C．    D．

10．如图，P是边长为的正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为，则的图象大致是

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．

11. 在的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）

12. 已知双曲线标准方程为，则其焦点到渐近线的距离为        ．

13. 已知平面．给出下列三个论断：①；②；③∥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____．

14．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，则与平面所成角的大小为________．

15. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则__________．

三、解答题：本大题共5个小题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分7分）

在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上,求圆C的方程．

17. （本小题满分7分）

如图，在四面体中，，，点、分别是、的中点，求证：（Ⅰ）直线平面； （Ⅱ）平面平面．

18．（本小题满分7分）

已知△的三个顶点是，，．

（Ⅰ）求边的高所在直线的方程；

（Ⅱ）若直线过点，且到直线的距离相等，求直线的方程．

19．(本小题共9分)

已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，平面，分别是 的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小．

20. （本小题满分10分）

已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；   

（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．

2021北京石景山高二（上）期末数学

参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．

三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16． (本小题满分7分)

解：曲线与轴的交点为，………………1分

与轴的交点为………………2分

设圆的方程为                             ……3分

，则，解得.……6分

故圆的方程为．………………7分

17．(本小题满分7分)

解：（Ⅰ）易知中位线，而面，面

∴平面．……3分

（Ⅱ）∵，，∴……4分

又，是的中点，∴……5分

∵，∴面……6分

又面，平面平面．……7分

18．(本小题满分7分)

解：（Ⅰ）因为，又直线与垂直，

所以直线的斜率，……2分

所以直线的方程是，即.……3分

（Ⅱ）因为直线过点且到直线的距离相等，

所以直线与平行或过的中点，……4分

因为，

所以直线的方程是，即.……5分

因为的中点的坐标为，

所以，所以直线的方程是

，即.……7分

综上，直线的方程是或.

19．(本小题满分9分)

证明:（Ⅰ）因为△是正三角形，是的中点，所以.

又因为平面，平面，所以.

，平面，

所以面.……………4分

（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，

，，

设平面的法向量为

令，则，……………6分

又平面的法向量，……………7分

设平面与平面所成锐二面角为，

所以.

所以平面与平面所成锐二面角为.……………9分

20．(本小题满分10分)

解：（Ⅰ）由已知，，…………1分

又，解得…………2分

所以椭圆方程为.…………3分

（Ⅱ）设直线的方程为

联立消去得

，不妨设……4分

则，因为为线段的中点

所以，………5分

所以………6分

所以为定值.…………7分

（Ⅲ）若四边形为平行四边形,则…………8分

所以

因为点在椭圆上，所以……9分

解得即

所以当四边形为平行四边形时，直线的斜率为.………10分

（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）