2021北京石景山高一（上）期末数学（教师版）

2021北京石景山高一（上）期末

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ）．

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则“”是“”（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

4. 下列函数中，在区间上为减函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若则一定有

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数为奇函数，且当x > 0时，＝x2＋，则等于（    ）

A. －2 B. 0

C. 1 D. 2

7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是

A.  B.  C.  D.

8. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色．现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均相等，则抽到白球或黑球的概率为

A.  B.  C.  D.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．

11. 命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是     

12. 函数的定义域为______.

13. 某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为________．

14. 设则__________.

15. 设是定义在上函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：

① ；② ；③；

具有性质的函数的个数为____________．

三、解答题：本大题共5个小题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 已知集合，或，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求．

17. 某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：

（1）求甲在比赛中得分的均值和方差；

（2）从甲比赛得分在分以下的场比赛中随机抽取场进行失误分析，求抽到场都不超过均值的概率．

18. 对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”．

（1）对于，试求的“下位序对”；

（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系.

19. 已知函数．

（1）求函数的定义域及的值；

（2）判断函数奇偶性；

（3）判断在上的单调性，并给予证明．

20. 某工厂某种航空产品年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）.每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；

（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【详解】由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.

【名师点睛】集合基本运算的关注点：

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

2. 当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据时指数函数与对数函数均为定义域内的增函数即可得答案.

【详解】解：因，函数为指数函数，为对数函数，

故指数函数与对数函数均为定义域内的增函数，

故选：B.

3. 已知，则“”是“”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．

【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，

“”⇒“a＞1或a＜0”，

∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．

故选A．

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

4. 下列函数中，在区间上为减函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的单调性及复合函数单调性求解.

【详解】当时，在上单调递减，所以在区间上为增函数；

由指数函数单调性知在区间上单调递增；

由在区间上为增函数， 为增函数，可知在区间上为增函数；

知在区间上为减函数.

故选：D

5. 若则一定有

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选

6. 已知函数为奇函数，且当x > 0时，＝x2＋，则等于（    ）

A. －2 B. 0

C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据解析式求值，结合奇函数有即可求得

【详解】∵x > 0时，＝x2＋

∴＝1＋1＝2

又为奇函数

∴

故选：A

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，结合解析式及函数的奇偶性，求目标函数值

7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.

考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

8. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数、对数函数的单调性,利用中间值比较法对三个数进行比较即可.

【详解】由函数的单调性,可知.

由函数的单调性,可知,

由函数的单调性可知,

所以.

故选：B

【点睛】方法点睛：指对数比较大小，常用的方法是：中间值分析法（与比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.

9. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下相同的体积，当时间取分钟时，液面下降的高度与漏斗高度的比较.

【详解】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取分钟时，液面下降的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果.

故选：A

【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，常利用特殊值和函数的性质判断，属于中档题.

10. 袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色．现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均相等，则抽到白球或黑球的概率为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：先求对立事件的概率：黑白都没有的概率，再用1减得结果.

详解：从袋中球随机摸个，

有，黑白都没有只有种，

则抽到白或黑概率为．

选．

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．

11. 命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是     

【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

【解析】

【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，

可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

12. 函数的定义域为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数解析式，列出不等式组求解即可.

【详解】因为函数，

所以解得，

所以函数定义域为，

故答案为：

13. 某网店根据以往某品牌衣服的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示，由此估计日销售量不低于50件的概率为________．

【答案】0.55

【解析】

【分析】

用减去销量为的概率，求得日销售量不低于50件的概率.

【详解】用频率估计概率知日销售量不低于50件的概率为1－（0.015＋0.03）×10＝0.55.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算事件概率，属于基础题.

14. 设则__________.

【答案】

【解析】

【分析】先求，再求的值.

【详解】由分段函数可知，

.

故答案为：

【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.

15. 设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：

① ；② ；③；

具有性质的函数的个数为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得．

【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；

②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；

③函数为偶函数，，令，，

则，存在．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可，属于中档题.

三、解答题：本大题共5个小题，共40分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 已知集合，或，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求．

【答案】（1）（2）

【解析】

分析】

（1）根据交集直接能算；

（2）根据补集、并集运算求解.

【详解】（1）因为，或，

所以

（2）由或，知，

所以.

17. 某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：

（1）求甲在比赛中得分均值和方差；

（2）从甲比赛得分在分以下场比赛中随机抽取场进行失误分析，求抽到场都不超过均值的概率．

【答案】(1)15，32.25（2）

【解析】

【分析】

（1）由已知中的茎叶图，代入平均数和方差公式，可得得答案；

（2）根据古典概型计算即可求解.

【详解】（1）这8场比赛队员甲得分为：7，8，10，15，17，19，21，23

故平均数为：，

方差:

.

(2) 从甲比赛得分在分以下的场比赛中随机抽取场,共有15中种不同的取法，

其中抽到场都不超过均值的为得分共6种，

由古典概型概率公式得.

18. 对于四个正数，如果，那么称是的“下位序对”．

（1）对于，试求的“下位序对”；

（2）设均为正数，且是的“下位序对”，试判断之间的大小关系.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

(1) 根据新定义，代入计算判断即可；

(2）根据新定义得到ad < bc，再利用不等式的性质，即可判断.

【详解】（1），

的“下位序对”是.

（2）是的“下位序对”,

,

均为正数,

,即，

，

同理可得，

综上所述，

【点睛】关键点点睛：对于本题关键理解，如果，那么称是的“下位序对”这一新定义，理解此定义后，利用不等式性质求解即可.

19. 已知函数．

（1）求函数的定义域及的值；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）判断在上的单调性，并给予证明．

【答案】（1）(2)偶函数（3）在上是减函数,证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据对数函数成立的条件即可求函数f (x）的定义域及的值；

(2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性;

( 3）利用函数单调性的定义进行判断和证明.

【详解】（1）因为，

所以，解得，

所以函数的定义域为.

（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称，

且，

所以函数是偶函数.

（3）在上是减函数.

设，且，

则，

因为，

所以，所以，

即，

所以在上是减函数.

【点睛】方法点睛：利用定义法证明函数的单调性，第一步设且，第二步做差，变形，判断差的符号，第三步根据差的符号作出结论.

20. 某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）.每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；

（2）年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】（1）；（2）年产量为件时，利润最大为万元.

【解析】

【详解】试题分析：（1）实际应用题首先要根据题意，建立数学模型，即建立函数关系式，这里，要用分类讨论的思想，建立分段函数表达式；（2）根据建立的函数关系解模，即运用数学知识求函数的最值，这里第一段，运用的是二次函数求最值，而第二段，则可运用基本不等式求最值，然后再作比较，确定最终的结果，最后要回到实际问题作答.

试题解析：解：（1）当时，；

当时，，

所以.

（2）当时，

此时，当时，取得最大值万元.

当时，

此时，当时，即时，取得最大值万元，

所以年产量为件时，利润最大为万元.

考点：函数、不等式的实际应用.